DİZİLER KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Dizi nedir?
Dizi, belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu bir listedir. Diziler genellikle {aₙ} şeklinde yazılır ve her bir terim sırasıyla adlandırılır.

📌 DİZİLERİN GENEL BİÇİMİ

Bir diziyi şu şekilde yazabiliriz:
a₁, a₂, a₃, a₄, ...
• aₙ → n'inci terim
• Dizinin genel terimi genellikle aₙ veya uₙ olarak gösterilir.

📌 DİZİ TÜRLERİ

Aritmetik Dizi
• İlk terim (a₁) ve ortak fark (d) ile belirlenir.
• Genel formül:
aₙ = a₁ + (n − 1)·d
• aₙ → n'inci terim
• d → Ortak fark

Örnek:
aₙ = 3 + (n - 1)·2 → 3, 5, 7, 9, ...
Ortak fark (d) = 2

Geometrik Dizi
• İlk terim (a₁) ve ortak oran (r) ile belirlenir.
• Genel formül:
aₙ = a₁ · r^(n - 1)
• aₙ → n'inci terim
• r → Ortak oran

Örnek:
aₙ = 2 · 3^(n-1) → 2, 6, 18, 54, ...
Ortak oran (r) = 3

Fibonacci Dizisi
• İlk iki terim 1, 1'dir ve sonraki terimler önceki iki terimin toplamı olarak bulunur.
• Genel formül:
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Örnek:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

📌 DİZİLERİN ÖZELLİKLERİ

• Aritmetik Dizi: Terimler arası fark sabittir.
• Geometrik Dizi: Terimler arası oran sabittir.
• Fibonacci Dizisi: Her terim, önceki iki terimin toplamıdır.

📌 DİZİLERİN LIMITİ

Bir dizinin limiti, dizinin terimleri belirli bir değere yaklaştığında o değeri ifade eder.
• Eğer aₙ → L (n → ∞) → Dizinin limiti L'dir.
• Dizilerde limit konusu, özellikle sonsuz büyük (∞) veya sonsuz küçük (-∞) terimlerde sıkça kullanılır.

📌 DİZİLERDE TOPLAM (SERİLER)

Aritmetik Serinin Toplamı
• Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı (Sₙ):
Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
• n → Terim sayısı
• a₁ → İlk terim
• aₙ → n'inci terim

Geometrik Serinin Toplamı
• Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı (Sₙ):
Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) (r ≠ 1)
• r → Ortak oran

Not:

Aritmetik dizide ortak fark, geometrik dizide ortak oran önemlidir.

Sonsuz dizilerin toplamı yalnızca ortak oranı |r| < 1 olan geometrik dizilerde bulunabilir.

📌 DİZİLERDE KONVERJANS VE DİVERJANS

• Konverjans: Bir dizi, belirli bir sayıya yakınsar (yaklaşır) ve o sayı dizinin limitidir.
• Diverjans: Bir dizi, belirli bir sayıya yaklaşmaz ve limit değeri yoktur.

✅ ÖZET FORMÜLLER


Dizinin Türü   Genel Formül
Aritmetik Dizi   aₙ = a₁ + (n - 1)·d
Geometrik Dizi   aₙ = a₁ · r^(n - 1)
Fibonacci Dizi   aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
Aritmetik Serinin Toplamı   Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
Geometrik Serinin Toplamı   Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) (r ≠ 1)
📌 DİZİLERLE İLGİLİ SIK SORULAN TİPLER

• Aritmetik ve geometrik dizilerde belirli terimlerin bulunması
• Dizinin limitinin hesaplanması
• Sonsuz dizilerde toplam (seriler) soruları
• Konverjans ve diverjans soruları

📘 TÜREV KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Türev nedir?
Türev, bir fonksiyonun değişim hızını yani eğimini (anlık değişimini) verir.
Geometrik anlamda bir eğrinin bir noktadaki teğet eğimini verir.
Fiziksel anlamda; hız, ivme gibi büyüklükleri ifade eder.

📌 TÜREVİN TANIMI

Türevin Tanımı (Limit Tanımı):

f'(x) = lim (h → 0) [ f(x + h) - f(x) ] / h
→ Bu tanım limit konusuyla bağlantılıdır. Genelde pratik kurallar kullanılır.

📌 TEMEL TÜREV KURALLARI

1. Sabit fonksiyonun türevi:
d/dx [c] = 0

2. x'in türevi:
d/dx

• = 1

3. xⁿ'in türevi:
d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

4. Sabit çarpan kuralı:
d/dx [c·f(x)] = c·f'(x)

5. Toplam / fark kuralı:
d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

📌 ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ


Fonksiyon   Türevi
f(x) = x   f'(x) = 1
f(x) = xⁿ   f'(x) = n·xⁿ⁻¹
f(x) = sin(x)   f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x)   f'(x) = -sin(x)
f(x) = tan(x)   f'(x) = 1 / cos²(x)
f(x) = eˣ   f'(x) = eˣ
f(x) = ln(x)   f'(x) = 1/x
f(x) = aˣ   f'(x) = aˣ·ln(a)
f(x) = logₐ(x)   f'(x) = 1 / (x·ln(a))
📌 TÜREV ALMA KURALLARI

Çarpım Kuralı:
d/dx [u·v] = u'·v + u·v'

Bölüm Kuralı:
d/dx [u / v] = (u'·v − u·v') / v²

Zincir Kuralı (Bileşke):
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

📌 TÜREVİN UYGULAMALARI

✅ 1. Teğet ve Normal Denklemi:
• f'(a) → a noktasındaki eğim
• Teğet doğrusu:
 y − f(a) = f'(a)(x − a)
• Normal doğrusu:
 y − f(a) = −1/f'(a) · (x − a)

✅ 2. Artan / Azalan Fonksiyonlar:
• f'(x) > 0 → fonksiyon artan
• f'(x) < 0 → fonksiyon azalan

✅ 3. Yerel Ekstremum (Maksimum - Minimum):
• f'(x) = 0 → kritik nokta
• f''(x) > 0 → minimum
• f''(x) < 0 → maksimum

✅ 4. Hız ve İvme:
• Konum: x(t)
• Hız: v(t) = x'(t)
• İvme: a(t) = v'(t) = x''(t)

✅ ÖZET FORMÜLLER

• (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
• (f ± g)' = f' ± g'
• (c·f)' = c·f'
• (f·g)' = f'·g + f·g'
• (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
• (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

📌 SIK SORULAN TİPLER

• Türevi tanım yoluyla bulma
• Fonksiyonun artan-azalan aralıkları
• Teğet eğimi, teğet denklemi
• En büyük-en küçük değer problemleri
• Bileşik fonksiyonun türevi

📘 POLİNOMLAR KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Polinom nedir?
Polinom; katsayıları gerçek sayılar olan ve değişkenin yalnızca doğal sayı kuvvetlerini içeren cebirsel ifadelerdir.

📌 POLİNOMUN GENEL BİÇİMİ

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
• aₙ ≠ 0 → Baş katsayı
• n → Derece (en yüksek kuvvet)
• a₀ → Sabit terim
• x → Değişken

Örnek: P(x) = 3x³ - 5x + 7
• Derece: 3
• Baş katsayı: 3
• Sabit terim: 7

🧮 POLİNOM İŞLEMLERİ

1. Toplama / Çıkarma:
Aynı derecedeki terimler kendi aralarında işleme girer.

2. Çarpma:
Dağıtarak çarpılır, benzer terimler toplanır.

3. Bölme (Uzun bölme):
Bölünen = (Bölen)·(Bölüm) + Kalan
P(x) = D(x)·B(x) + K(x)
→ Derece(K) < Derece(D)

📌 POLİNOM ÇARPANLAR VE KÖKLER

• Eğer P(a) = 0 ise, x − a polinomu P(x)'in bir çarpanıdır.
• Kök = Polinomu sıfır yapan x değeri
• Kök sayısı en fazla polinomun derecesi kadardır.

Örnek: P(x) = x² − 5x + 6
→ P(x) = (x − 2)(x − 3)
→ Kökler: x = 2 ve x = 3

📌 POLİNOMUN BİR SAYIYA DEĞERİ

P(a) → x yerine a yazılarak polinomun değeri bulunur.

Örnek: P(x) = x² + 2x + 1
P(3) = 3² + 2·3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

📌 SABİT POLİNOM
Tüm terimleri sabit olan, yani x içermeyen polinomlar.
Örn: P(x) = 5

📌 SIFIR POLİNOM
Tüm katsayıları sıfır olan polinom: P(x) = 0
→ Her x için değeri sıfırdır, derecesi tanımsızdır.

📌 POLİNOMUN DERECESİ


İşlem   Derece
Toplama   Büyük olanın derecesi
Çarpma   Dereceler toplanır (n + m)
Bölme   Dereceler çıkarılır (n - m)
📌 POLİNOMDA BÖLÜNEBİLME ve KALAN

Kalan Teoremi:
P(x) polinomu, x − a ya bölünürse kalan = P(a)

Örnek:
P(x) = x² + 3x + 2
Kalan nedir x − 1'e bölünürken?
Cevap: P(1) = 1² + 3·1 + 2 = 6

📌 ÖZEL POLİNOM TÜRLERİ

• Tek terimli polinom: P(x) = 2x³
• Sabit polinom: P(x) = 7
• Sıfır polinomu: P(x) = 0
• Tam kare: (x + a)² = x² + 2ax + a²
• Küp açılımı:
 (x + a)³ = x³ + 3a·x² + 3a²x + a³

✅ ÖZET BİLGİLER

• P(x) = (x − kök₁)(x − kök₂)... biçiminde çarpanlara ayrılabilir
• Derece, işlem türüne göre değişir
• Polinom bölme → Kalan Teoremi ve EBOB-KATSAYI soruları önemli
• Sınavlarda en çok "kök bulma", "değer hesaplama", "bölünebilme" sorulur

📘 KARMAŞIK SAYILAR KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Tanım:
Gerçek sayılarla çözülemeyen (özellikle negatif sayıların karekökü) durumlarda kullanılan yeni bir sayı kümesidir.
Karmaşık sayıların temel birimi: i
Tanımı: i² = -1

📌 KARMAŞIK SAYININ GENEL BİÇİMİ

z = a + bi
• a → Gerçek kısım
• b → Sanal kısım
• i → Sanal birim (i² = -1)

Örnek:
z = 3 + 4i → a = 3, b = 4
z = -2i → a = 0, b = -2

📌 TEMEL İŞLEMLER

1. Toplama / Çıkarma:
Gerçek kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında:
(3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i
(4 + i) - (2 + 3i) = 2 - 2i

2. Çarpma:
Dağıtarak yapılır, i² yerine -1 yazılır:
(2 + i)(3 - 4i) = 6 - 8i + 3i - 4i² = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i

3. Bölme:
Paydayı gerçek sayıya çevirmek için eşleniği ile genişletilir.

Örnek:
(1 + 2i) / (3 - i)
→ Eşleniği: 3 + i
→ Genişlet:
[(1 + 2i)(3 + i)] / [(3 - i)(3 + i)]
= (3 + i + 6i + 2i²) / (9 + i·3 - i·3 - i²)
= (3 + 7i - 2) / (9 + 1) = (1 + 7i) / 10 = 1/10 + 7i/10

📌 EŞLENİK (z̄)
Bir karmaşık sayının sanal kısmının işareti değiştirilirse eşleniği elde edilir:
• z = a + bi
• z̄ = a - bi

Eşleniğin çarpımı:
z · z̄ = a² + b² (daima gerçel sayı)

📌 MODÜL (|z|)
Bir karmaşık sayının modülü (uzunluğu):
|z| = √(a² + b²)

Örnek: z = 3 + 4i
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

📌 KARMAŞIK DÜZLEM (ARGAND DÜZLEMİ)

• Gerçek eksen: x ekseni
• Sanal eksen: y ekseni
• z = a + bi noktası düzlemde (a, b) olarak gösterilir
• Z = 3 + 2i → Nokta: (3, 2)

📌 i'NİN KUVVETLERİ (EZBERLE!)


Kuvvet   Değer
i⁰   1
i¹   i
i²   -1
i³   -i
i⁴   1
→ Her 4 adımda bir döngü başa döner.   
Kural: iⁿ = iⁿ mod 4'e göre bulunur   
✅ ÖZET FORMÜLLER

• z = a + bi
• z̄ = a - bi
• z · z̄ = |z|² = a² + b²
• |z| = √(a² + b²)
• i² = -1
• i⁴k = 1, i⁴k+1 = i, i⁴k+2 = -1, i⁴k+3 = -i

📌 SIK SORULAN TİPLER

• i'nin yüksek kuvvetleri
• Modül ve eşlenik hesaplamaları
• Karmaşık bölme işlemleri
• Argand düzlemde nokta belirleme
• z + z̄, z - z̄ gibi işlemler

📘 2. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER KONUSU ÖZETİ

Genel biçimi:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
Burada: a ≠ 0 olmalı. Bu tür eşitsizlikler "2. dereceden eşitsizlik" olarak adlandırılır.

📌 ADIM ADIM ÇÖZÜM YÖNTEMİ

1. Denklem haline getir:
Önce eşitsizliği "0"'a eşitle:
ax² + bx + c = 0

2. Diskriminant (Δ) ile kökleri bul:
Δ = b² - 4ac
Kökleri bul:
• x₁ = (-b - √Δ) / 2a
• x₂ = (-b + √Δ) / 2a

3. Parabol mantığıyla işaret tablosu oluştur:
Denklem parabol olduğundan işaretler şu şekilde belirlenir:

• a > 0 ise kollar yukarı (gülümseyen 😊)
• a < 0 ise kollar aşağı (üzgün ☹️)

📈 DURUMLAR VE SONUÇLARI

Δ > 0 (İki farklı kök varsa):
Parabol x eksenini 2 noktada keser.
• a > 0 →
 x₁ ve x₂ arasında negatif, dışında pozitif
 ax² + bx + c > 0 → x < x₁ veya x > x₂
 ax² + bx + c < 0 → x₁ < x < x₂

• a < 0 →
 x₁ ve x₂ arasında pozitif, dışında negatif
 ax² + bx + c > 0 → x₁ < x < x₂
 ax² + bx + c < 0 → x < x₁ veya x > x₂

Δ = 0 (Çift katlı kök varsa):
Parabol x eksenine teğettir.
Kök: x₀ = -b / 2a

• a > 0 → Parabol hep yukarıda
 ax² + bx + c > 0 → x ≠ x₀
 ax² + bx + c ≥ 0 → Tüm x ∈ ℝ
 ax² + bx + c < 0 → Çözüm yok

• a < 0 → Parabol hep aşağıda
 ax² + bx + c < 0 → x ≠ x₀
 ax² + bx + c ≤ 0 → Tüm x ∈ ℝ
 ax² + bx + c > 0 → Çözüm yok

Δ < 0 (Gerçek kök yoksa):
Parabol x eksenini kesmez.

• a > 0 → Tüm değerler pozitif
 ax² + bx + c > 0 → Tüm x ∈ ℝ
 ax² + bx + c < 0 → Çözüm yok

• a < 0 → Tüm değerler negatif
 ax² + bx + c < 0 → Tüm x ∈ ℝ
 ax² + bx + c > 0 → Çözüm yok

📌 ÖRNEK SORU

Soru: x² - 3x - 4 > 0 çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
Denklem: x² - 3x - 4 = 0
Çarpanlara ayır: (x - 4)(x + 1) = 0
Kökler: x = 4 ve x = -1
a = 1 > 0 → kollar yukarı
İşaret tablosu:
• x < -1 → pozitif
• -1 < x < 4 → negatif
• x > 4 → pozitif
İstenen: > 0 → x < -1 veya x > 4
Cevap: (−∞, −1) ∪ (4, ∞)

✅ ÖZET BİLGİLER

• Eşitsizlik çözümünde kökler bulunur ve işaret tablosu yapılır
• Parabolün kolları "a" katsayısına göre belirlenir
• Δ → kök var mı yok mu onu gösterir
• Sonuçlar daima aralık olarak verilir
• Eşitlik varsa kökler dahil edilir ([ ], ≤, ≥ durumlarında)

📘 TRİGONOMETRİ KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Trigonometri nedir?
Trigonometri, üçgenlerde açı ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Özellikle dik üçgenlerde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranları çok kullanılır.

📐 TEMEL TRİGONOMETRİK ORANLAR

Bir dik üçgende:
• hipotenüs: en uzun kenar
• komşu kenar: açının yanındaki dik kenar
• karşı kenar: açının karşısındaki dik kenar

θ (teta) açısı için:

• sin(θ) = karşı / hipotenüs
• cos(θ) = komşu / hipotenüs
• tan(θ) = karşı / komşu
• cot(θ) = komşu / karşı

🔄 TRİGONOMETRİK ORANLAR ARASI BAĞLANTILAR

• tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
• cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)
• sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• 1 + tan²(θ) = 1 / cos²(θ)
• 1 + cot²(θ) = 1 / sin²(θ)

🧭 AÇILARIN BÖLGELERİ (Trigonometrik Çember)

Bölge: Tüm oranlar

Bölge: sin +

Bölge: tan +

Bölge: cos +

Kural: "All Students Take Calculus" (İngilizce ezber)
A: All (+) → 1. Bölge
S: Sin (+) → 2. Bölge
T: Tan (+) → 3. Bölge
C: Cos (+) → 4. Bölge

⏱️ ÖZEL AÇILAR (Sık Sorulanlar)


Açı    sin    cos    tan    cot
0°    0    1    0    ∞
30°    1/2    √3/2    √3/3    √3
45°    √2/2    √2/2    1    1
60°    √3/2    1/2    √3    √3/3
90°    1    0    ∞    0
📏 RADYAN - DERECE DÖNÜŞÜMLERİ

• π rad = 180°
• 1 rad = 180 / π ≈ 57.3°
• Derece → Radyan: derece · π / 180
• Radyan → Derece: radyan · 180 / π

Örnek:
60° = 60·π / 180 = π/3 rad
π/2 rad = π/2 · 180 / π = 90°

🎯 DİĞER ÖNEMLİ KAVRAMLAR

• sin(−x) = −sin(x)
• cos(−x) = cos(x)
• tan(−x) = −tan(x)
→ sin ve tan tek fonksiyon, cos çift fonksiyon
• sin(180°−x) = sin(x)
• cos(180°−x) = −cos(x)
• tan(180°−x) = −tan(x)

✅ ÖZET BİLGİLER

• sin²x + cos²x = 1
• tanx = sinx / cosx
• cotx = cosx / sinx
• Trigonometrik oranlar çemberin her bölgesinde farklı işaret alır
• 0°, 30°, 45°, 60°, 90° açıları ezberlenmeli
• Radyan ve derece dönüşümüne dikkat edilmeli

📘 PARABOL KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Parabol nedir?
Parabol, ikinci dereceden bir denklemin (yani x²'li ifadenin) grafiksel gösterimidir.
Temel denklem:
y = ax² + bx + c

Burada:
• a, b, c sabit katsayılardır
• a ≠ 0 olmalıdır
• x² olduğuna göre bu grafik parabol olur

📌 PARABOLÜN ÖZELLİKLERİ

1. Kolların Yönü:
• a > 0 ise parabolün kolları yukarıya doğrudur (gülümseyen yüz 😊)
• a < 0 ise parabolün kolları aşağıya doğrudur (üzgün yüz ☹️)

2. Tepe Noktası (Tepe Noktası Formülü):
Tepe noktası (x, y) şeklindedir.
• x = -b / (2a)
• y = f(x) bulunarak tepe noktası tamamlanır

Örnek:
y = 2x² - 4x + 1
x = -(-4) / (2·2) = 1
y = 2·(1)² - 4·1 + 1 = -1
→ Tepe noktası: (1, -1)

3. Simetri Ekseni:
x = -b / (2a)
Parabol, bu doğruya göre simetriktir.

4. Y Ekseni Kesiği (c katsayısı):
x = 0 için: y = c
Yani parabol y eksenini (0, c) noktasında keser.

5. X Ekseni Kesiği (Kökler):
Denklem: ax² + bx + c = 0
Bu kökler Δ (delta) ile bulunur:

• Δ = b² - 4ac
• Δ > 0 → 2 farklı kök
• Δ = 0 → çift katlı kök (tepe noktası x ekseni üzerindedir)
• Δ < 0 → x eksenini kesmez

🔁 PARABOLÜN GRAFİĞİNİ ÇİZERKEN ADIMLAR

Kollar yukarı mı aşağı mı? (a'nın işaretine bak)

Tepe noktasını bul

Y ekseni kestiği nokta → y = c

X ekseni kestiği yerleri bulmak için kökleri hesapla

Simetriyi unutma: tepe noktasına göre simetrik olmalı

📌 ÖRNEK SORU

Denklem: y = x² - 6x + 8
• a = 1, b = -6, c = 8
• Tepe noktası x = -(-6)/(2·1) = 3
• y = 3² - 6·3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1
→ Tepe noktası: (3, -1)
• Y ekseni kesişimi: y = 8 → (0,
• Kökler: x² - 6x + 8 = 0 → (x - 2)(x - 4) = 0
→ x = 2 ve x = 4 noktalarında x eksenini keser.

✅ ÖZET BİLGİLER

• Denklem: y = ax² + bx + c
• Tepe noktası x = -b / (2a)
• Y eksenini (0, c) noktasında keser
• Kollar yukarı: a > 0
• Kollar aşağı: a < 0
• Simetri ekseni: x = -b / (2a)
• x ekseni kesişimi → kökler

📘 LİMİT KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Limit nedir?
Limit, bir fonksiyonun x değeri belli bir sayıya yaklaşırken, fonksiyonun çıktısının (yani f(x)'in) neye yaklaştığını ifade eder.
Örneğin:
lim (x → 2) x² = 4
Çünkü x, 2'ye yaklaşırken x² değeri 4'e yaklaşır.

Limit Gösterimi:
lim (x → a) f(x)
Anlamı: x, a'ya yaklaşırken f(x) neye yaklaşır?

Not: Limitte önemli olan "yaklaşmak"tır, eşit olmak gerekmez. Fonksiyon o noktada tanımsız olsa bile limiti olabilir.

📌 TEMEL LİMİT KURALLARI

Sabitin limiti:
lim (x → a) c = c

x'in limiti:
lim (x → a) x = a

Toplama ve çıkarma:
lim (x → a) [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

Çarpma:
lim (x → a) [f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)

Bölme (payda sıfır değilse):
lim (x → a) [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)

❗ BELİRSİZLİK DURUMLARI

Bazı limitlerde doğrudan yerine koyunca belirsizlik çıkar:
Örnek:
lim (x → 2) [(x² - 4) / (x - 2)] = 0 / 0 → Belirsiz!

Çözüm: sadeleştirme veya çarpanlara ayırma:
(x² - 4) = (x - 2)(x + 2)
Yani ifade: [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2
lim (x → 2) (x + 2) = 4

🔁 SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT

lim (x → a⁻) f(x) → x, a'ya soldan yaklaşırken limit
lim (x → a⁺) f(x) → x, a'ya sağdan yaklaşırken limit

Eğer:
lim (x → a⁻) f(x) = lim (x → a⁺) f(x) = L
ise:
lim (x → a) f(x) = L

📉 LİMİT ve SÜREKLİLİK

Bir fonksiyon, bir noktada sürekli ise:
lim (x → a) f(x) = f(a)
eşitliği sağlanmalıdır.

Meşhur Matematikçiler - Ünlü Matematikçiler - Matematik Proje Ödevi
İÇİNDEKİLER

• Kapak Sayfası
• İçindekiler
• Giriş: Matematiğin Önemi ve Tarihi
• Pisagor (Pythagoras)
• Öklid (Euclid)
• Arşimet (Archimedes)
• El-Harezmi
• Fibonacci
• Carl Friedrich Gauss
• Blaise Pascal
• John von Neumann
• Alan Turing
• Sonuç ve Değerlendirme

GİRİŞ: MATEMATİĞİN ÖNEMİ VE TARİHİ
Matematik, insanlık tarihi boyunca bilimlerin temelini oluşturmuş önemli bir disiplindir. Sayılar, şekiller, ölçüler ve mantık kuralları ile ilgilenen bu bilim dalı, sadece okul derslerinde değil, günlük hayatta da çok büyük bir yer tutar. Alışveriş yaparken para hesaplamak, saatleri okumak, yemek tariflerini uygulamak, hatta futbol maçlarını takip etmek bile matematik bilgisi gerektirir.
Matematik, aynı zamanda fen bilimlerinin de temelidir. Fizik, kimya, biyoloji, astronomi gibi birçok bilim dalı, matematiksel hesaplamalara ve formüllere dayanır. Teknolojinin gelişmesi, mühendislik projeleri, bilgisayar programları ve yapay zekâ gibi alanlar da matematiğin gücü sayesinde ortaya çıkmıştır.
Matematiğin tarihi çok eskilere dayanır. İlk çağlarda insanlar, sayı saymayı öğrenmiş, sonra bu bilgileri geliştirerek geometri, cebir ve aritmetik gibi alanlar oluşturmuşlardır. Eski Mısır, Mezopotamya, Hindistan, Çin, Yunan ve İslam medeniyetlerinde matematik çok önemli bir yere sahip olmuştur. Bu medeniyetlerde yaşamış matematikçiler, bugün hâlâ kullandığımız formüllerin, yöntemlerin ve sayı sistemlerinin temelini atmışlardır.
Bu proje ödevinde, tarihe yön vermiş ve matematiğe büyük katkılar sunmuş bazı önemli matematikçileri tanıyacağız. Onların hayatları, buluşları ve matematik dünyasına bıraktıkları izleri keşfedeceğiz.

PİSAGOR (PYTHAGORAS)
📅 Doğum - Ölüm: M.Ö. 570 – M.Ö. 495
📍 Doğum Yeri: Sisam Adası (Yunanistan)
📚 Alanı: Matematik, Geometri, Felsefe
Pisagor, Antik Yunan'ın en önemli matematikçilerinden biridir. Özellikle Pisagor Teoremi ile tanınır. Bu teorem, dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi açıklar. Kısaca şu şekilde ifade edilir:
a² + b² = c²
Burada "a" ve "b" dik kenarlar, "c" ise hipotenüstür (dik kenarların karşısındaki en uzun kenar).
Pisagor'un kurduğu Pisagorculuk okulu, hem matematik hem de felsefe eğitimi veren bir topluluktur. Bu okulda sayılar kutsal kabul edilir ve evrendeki her şeyin sayılarla açıklanabileceğine inanılırdı. Pisagor, sayıların sadece hesaplamalar için değil, aynı zamanda doğayı anlamak için bir araç olduğunu savunmuştur.
İlginç bir şekilde, Pisagor müzikle de ilgilenmiştir. Farklı uzunluktaki tellerin farklı sesler çıkardığını keşfetmiş ve bu bilgiyi matematikle açıklamıştır. Böylece matematik ile müzik arasında bir bağ kurmuştur.
Önemli Katkıları:
•    Pisagor Teoremi
•    Sayıların özelliklerini keşfetmesi (örneğin tek ve çift sayılar)
•    Matematik ile felsefeyi birleştirmesi
•    Matematiğin bilimsel düşüncenin temeli olması fikrini yayması

ÖKLİD (EUCLID)
📅 Doğum - Ölüm: M.Ö. 325 – M.Ö. 265
📍 Doğum Yeri: İskenderiye (Mısır)
📚 Alanı: Geometri, Matematik
Öklid, "Geometri'nin Babası" olarak bilinir. Yazdığı "Elementler (Elements)" adlı eser, matematik tarihinin en etkili kitaplarından biridir. Bu kitapta düzlem geometrisinin temellerini atmış ve sistematik bir şekilde tüm kuralları açıklamıştır.
Öklid'in çalışmaları sayesinde bugün öğrendiğimiz nokta, doğru, düzlem, açı, üçgen, dörtgen gibi kavramlar matematiksel olarak tanımlanmıştır. Geometri derslerinde kullandığımız pek çok kural onun sisteminden gelir.
📏 Öklid Geometrisi Nedir?
Öklid, kendi geometri anlayışını 5 temel "aksiyom" (kabul edilen doğrular) üzerine kurmuştur. Bu aksiyomlardan biri meşhurdur:
"Bir noktadan bir doğruya yalnızca bir tane paralel doğru çizilebilir."
Bu kural, yüzyıllar boyunca geometri öğretiminin temel taşı olmuştur. Günümüzde bu sistem "Öklidyen Geometri" olarak adlandırılır.
🔍 Önemli Katkıları:
•    Elementler adlı kitabıyla geometrinin temelini oluşturdu
•    Matematikte sistematik düşünme alışkanlığı kazandırdı
•    Düzlem geometrisinin kurallarını belirledi
İlginç Bilgi:
Elementler kitabı, İncil'den sonra en çok basılan kitaplardan biridir ve yaklaşık 2000 yıl boyunca matematik eğitiminin temel kaynağı olmuştur!

ARŞİMET (ARCHIMEDES)
📅 Doğum - Ölüm: M.Ö. 287 – M.Ö. 212
📍 Doğum Yeri: Syraküza (Sicilya, İtalya)
📚 Alanı: Matematik, Fizik, Mühendislik
Arşimet, matematiğin en önemli figürlerinden biridir ve aynı zamanda bir mühendis ve fizikçi olarak da büyük katkılar sağlamıştır. Özellikle hidrostatik, mekanik ve geometri alanlarında yaptığı çalışmalarla tanınır.
🏛� Arşimet'in En Önemli Buluşları:
•    Arşimet Prensibi: Bir cisme, sıvı içindeki itme kuvveti, cismin yer değiştirdiği sıvının ağırlığına eşittir. Bu prensip, gemilerin suya batmaması, yüzerliği gibi konularda kullanılır.
•    Arşimet Vida: Su ve diğer sıvıları bir yerden başka bir yere taşımak için geliştirdiği mekanik alet.
•    Pi Sayısının Hesaplanması: Arşimet, pi sayısını hesaplama konusunda oldukça başarılı bir yöntem geliştirmiştir. Bu hesaplamalar, pi'nin tam değerine yaklaşmada önemli bir adımdır.
İlginç Bilgi:
Arşimet, çok ünlü bir anekdota sahiptir: Bir gün küvetinde banyo yaparken suyun taşmasıyla birlikte "Eureka!" (Bulduğum şey!) diyerek, bir cismin suya batma miktarını ölçerek su basıncı ve kaldırma kuvveti ile ilgili teorisini keşfetmiştir. Bu olay, bilim tarihinde büyük bir dönüm noktası olarak kabul edilir.

EL-HAREZMİ
📅 Doğum - Ölüm: M.Ö. 780 – M.Ö. 850
📍 Doğum Yeri: Harezm (bugünkü Özbekistan)
📚 Alanı: Cebir, Matematik, Astronomi
El-Harezmi, "Cebirin Babası" olarak tanınır ve matematikteki en önemli katkılarından biri olan cebir alanındaki çalışmalarıyla ünlüdür. Cebir kelimesi, Arapça "al-jabr" kelimesinden türetilmiştir ve El-Harezmi'nin eserinde bu kelime, "eksik olanı tamamlamak" anlamına gelir. Cebir, sayıların ve bilinmeyenlerin çözümü için kullanılan bir yöntemdir ve modern matematiğin temel taşlarını oluşturur.
🔢 El-Harezmi'nin En Önemli Katkıları:
•    Cebir: El-Harezmi, cebirin sistematik bir şekilde işlenmesini sağlamış ve bu alandaki önemli ilk çalışmayı yapmıştır. "Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" adlı eseri, cebir biliminin temel kitabı olarak kabul edilir.
•    Hindistan'dan gelen rakamlar: El-Harezmi, Hint rakamlarını (0, 1, 2, 3, ...) Batı dünyasına tanıtmıştır. Bu rakamlar daha sonra günümüzde kullandığımız Arap rakamları haline gelmiştir.
•    Matematiksel Tablo ve Hesaplamalar: El-Harezmi, çeşitli matematiksel tablolar oluşturmuş ve sayıların hesaplanmasını kolaylaştıran teknikler geliştirmiştir.
İlginç Bilgi:
El-Harezmi'nin "Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" adlı eseri, Orta Çağ boyunca Batı Avrupa'da çok popüler olmuş ve bu kitap Latince'ye çevrilerek matematik eğitiminde bir kaynak haline gelmiştir.

FIBONACCI
📅 Doğum - Ölüm: 1170 – 1250
📍 Doğum Yeri: İtalya
📚 Alanı: Matematik
Fibonacci, Orta Çağ'ın en ünlü matematikçilerinden biridir ve en çok Fibonacci Sayıları ve Fibonacci Dizisi ile tanınır. Fibonacci Dizisi, her sayının bir önceki iki sayının toplamı olduğu bir sayı dizisidir. Bu dizinin ilk birkaç terimi şu şekildedir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Fibonacci, Liber Abaci (Abacus Kitabı) adlı eserinde Hindistan'dan gelen sayı sistemini Batı dünyasına tanıtarak, ondalıklı sistemin Avrupa'da kullanılmasını sağlamıştır. Bu sistem, günümüzde kullandığımız Arap rakamları ve onlu sayı sistemi ile büyük benzerlik gösterir.
🔢 Fibonacci Sayılarının Matematiksel Önemi:
Fibonacci Dizisi, matematiksel bir ilginin ötesinde doğada da sıkça karşımıza çıkar. Örneğin, bir çiçeğin yapraklarının düzeni, deniz kabuklarının şekli, ağaç dallarının büyüme şekli gibi doğal yapıların çoğunda Fibonacci dizisi izlenir.
Bu dizinin dışında, Fibonacci aynı zamanda merhametli (amicable) sayılar ve altın oran (golden ratio) gibi kavramlar üzerinde de çalışmalar yapmıştır.
İlginç Bilgi:
Fibonacci Dizisi, doğadaki birçok yapıda altın oran ile ilişkilidir. Örneğin, bir çam ağacının dallanma düzeni veya bazı çiçeklerin taç yapraklarının sıralanışı, Fibonacci Dizisi'ne uyar.

CARL FRIEDRICH GAUSS
📅 Doğum - Ölüm: 1777 – 1855
📍 Doğum Yeri: Almanya
📚 Alanı: Matematik, Fizik, Astronomi
Carl Friedrich Gauss, matematiğin en önemli ve en saygın isimlerinden biridir. "Matematiğin Prensi" olarak bilinir ve birçok farklı matematiksel alanda derin izler bırakmıştır. Gauss, matematiği yalnızca teori olarak değil, aynı zamanda uygulamalı bilimler alanında da kullanarak, modern matematiksel düşünceyi şekillendirmiştir.
📏 Gauss'un Önemli Katkıları:
•    Gauss'un Yöntemi (Yıldız Sayımı): Gauss, sayı teorisi alanında, primalar ve modüler aritmetik üzerine önemli çalışmalar yapmıştır. Primalar (asal sayılar) üzerine yaptığı çalışmalar, modern sayılar teorisinin temel taşlarını oluşturur.
•    Gauss'un Eğim Formülü: Gauss, matematiksel analiz ve diferansiyel geometri alanlarında yaptığı çalışmalarıyla da tanınır. Özellikle yüzey eğriliği üzerine geliştirdiği teoriler, modern geometriye büyük katkı sağlamıştır.
•    Gauss'un Yüzey Entegrasyonları ve İstatistiksel Dağılımlar: Gauss, aynı zamanda normal dağılımın ve olasılık teorisinin temellerini atmıştır. Bugün "Gauss dağılımı" olarak bilinen bu dağılım, istatistiksel analizlerde yaygın olarak kullanılır.
İlginç Bilgi:
Gauss, çocukken, öğretmenine meydan okuyarak 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını çok hızlı bir şekilde hesaplamış ve bu, onun müthiş matematiksel yeteneğini gösteren ünlü bir anekdottur. Bu hesaplama, sadece 5050 olduğunu keşfetmek için çok kısa bir süre almıştır!

CAHİT ARF
📅 Doğum - Ölüm: 1910 – 1997
📍 Doğum Yeri: İstanbul, Türkiye
📚 Alanı: Matematik, Cebir
Cahit Arf, Türk matematik dünyasının en önemli isimlerinden biridir. Cebir alanındaki çalışmalarıyla tanınır ve özellikle "Arf Cebiri" ile bilinir. Arf, matematiksel yapılar üzerine yaptığı teorik çalışmalarla, cebirsel sistemlerin anlaşılmasını ve geliştirilmesini sağlamıştır.
🔢 Cahit Arf'ın En Önemli Katkıları:
•    Arf Cebiri: Arf, cebirsel yapılar ve gruplar üzerine yaptığı çalışmalarla, modern cebir biliminin gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Arf Cebiri, matematiksel nesnelerin özelliklerini tanımlamak için kullanılan özel bir cebirsel yapıdır.
•    İleri Düzey Matematiksel Teoriler: Cahit Arf, matematiksel araştırmalarında sadece teoriye değil, aynı zamanda problem çözme yöntemlerine de büyük önem vermiştir. Özellikle matematiksel doğrulama ve çözüm yöntemleri konusunda önemli buluşlara imza atmıştır.
•    Uluslararası Başarılar ve Akademik Katkılar: Cahit Arf, yurtiçinde ve yurtdışında pek çok matematiksel dergide makaleler yayınlamış ve eğitimci olarak birçok öğrenci yetiştirmiştir. Arf'ın matematiksel düşünme tarzı, dünya çapında kabul görmüştür.
İlginç Bilgi:
Cahit Arf, Türk matematik tarihinde oldukça saygın bir yer edinmiş ve özellikle Türk Matematik Derneği'nin kurulmasına öncülük etmiştir. Ayrıca, Arf, Türk matematik literatürünü dünya çapında tanıtan önemli bir isim olarak bilinir.

BLAISE PASCAL
📅 Doğum - Ölüm: 1623 – 1662
📍 Doğum Yeri: Fransa
📚 Alanı: Matematik, Fizik, Felsefe
Blaise Pascal, matematik ve fiziğin yanı sıra, felsefi çalışmalarla da tanınır. Pascal, olaylar arasında olasılık ilişkilerini araştırarak, olasılık teorisinin temel taşlarını atmıştır. Ayrıca, Pascal Üçgeni ve Pascal Kanunu gibi önemli matematiksel kavramlarla da bilinir.
🔢 Pascal'ın Önemli Katkıları:
•    Pascal Üçgeni: Kombinatoryal hesaplamalar ve binom katsayılarının hesaplanmasında kullanılan ünlü bir üçgendir. Bu üçgen, birçok farklı matematiksel teorinin temelini atmıştır.
•    Olasılık Teorisi: Pascal, olasılık teorisinin gelişmesine önemli katkılar sağlamış, gambit hesaplamaları ve diğer olasılık hesaplamaları üzerine teoriler geliştirmiştir.
•    Pascal Kanunu: Sıvıların basınç özelliklerini anlatan bu kanun, mühendislik ve fizik alanlarında geniş bir uygulama bulmuştur.
🌍 İlginç Bilgi:
Pascal, matematiksel çalışmalarının yanı sıra, felsefi düşünceleriyle de tanınır. En ünlü eseri "Pensées" (Düşünceler), dini ve felsefi konularda derin bir analiz sunar.

JOHN VON NEUMANN
📅 Doğum - Ölüm: 1903 – 1957
📍 Doğum Yeri: Macaristan
📚 Alanı: Matematik, Bilgisayar Bilimi, Fizik
John von Neumann, matematiksel düşünceyi bilgisayar bilimine taşımış ve modern bilgisayar biliminin temellerini atmıştır. Ayrıca oyun teorisi ile ilgili geliştirdiği teoriler, günümüzde ekonomi ve stratejik karar verme alanlarında kullanılır.
🔢 Von Neumann'ın Önemli Katkıları:
•    Bilgisayar Bilimi: İlk programlanabilir bilgisayar ve Von Neumann mimarisi, modern bilgisayarların temellerini oluşturmuştur.
•    Oyun Teorisi: Von Neumann, oyun teorisinin kurucularından biridir ve bu alan, ekonomi, siyaset ve psikolojide büyük bir yer tutar.
•    Matematiksel Fizik: Von Neumann, matematiksel fizik alanında da önemli çalışmalar yapmış, özellikle kuantum mekaniği alanında katkı sağlamıştır.
İlginç Bilgi:
John von Neumann, aynı zamanda Atom Bombası'nın geliştirilmesinde de önemli bir rol oynamıştır. Matematiksel becerilerini, fiziksel ve mühendislik sorunlarını çözmede kullanmıştır.

ALAN TURING
📅 Doğum - Ölüm: 1912 – 1954
📍 Doğum Yeri: Birleşik Krallık
📚 Alanı: Matematik, Bilgisayar Bilimi, Kriptografi
Alan Turing, modern bilgisayar bilimlerinin temellerini atmış ve yapay zeka konusunda ilk teorileri geliştirmiştir. Turing'in, II. Dünya Savaşı sırasında Alman şifrelerini çözmek için geliştirdiği yöntemler, savaşın seyrini değiştirmiştir.
Turing'in Önemli Katkıları:
•    Turing Makinesi: Bu basit ancak güçlü model, bilgisayarların çalışma prensiplerini anlamamıza yardımcı olmuştur ve modern bilgisayarların temelidir.
•    Kriptografi ve Şifre Çözme: II. Dünya Savaşı sırasında Almanların şifreli mesajlarını çözerek, savaşın seyrini değiştiren önemli katkılar sağlamıştır.
•    Yapay Zeka: Turing, yapay zekâ ve makine öğrenmesi üzerine temel teoriler geliştirmiştir.
İlginç Bilgi:
Turing, Turing Testi ile yapay zekâya dair önemli bir test geliştirmiştir. Bu test, bir bilgisayarın insan gibi düşünüp düşünmediğini anlamaya çalışır.

SONUÇ VE DEĞERLENDİRME
Matematik tarihi, birbirinden değerli matematikçilerin katkılarıyla şekillenmiştir. Bu proje, Pisagor'dan Gauss'a kadar olan dönemde, matematiğin temel ilkelerinin nasıl geliştiğini ve günümüz bilim dünyasında nasıl bir etkisi olduğunu göstermektedir.
Pisagor, geometrinin temellerini atarak, matematiksel düşünmenin evrensel bir dil haline gelmesine olanak sağlamıştır.
Öklid, matematiksel akıl yürütme ve sistematik çalışma anlayışını geliştirerek, geometrinin yapı taşlarını oluşturmuştur.
Arşimet, fizik ve mühendislik alanlarında yaptığı buluşlarla matematiğin gerçek dünya ile nasıl bağlantılı olduğunu kanıtlamıştır.
El-Harezmi, cebir alanındaki buluşlarıyla matematiği daha anlaşılır hale getirmiş ve modern sayı sistemlerinin temelini atmıştır.
Fibonacci, sayı dizileri ve doğadaki matematiksel düzen arasındaki ilişkiyi keşfederek, matematiğin doğadaki yeri üzerinde önemli çalışmalar yapmıştır.
Gauss, sayılar teorisi, istatistik ve geometri alanlarındaki katkılarıyla matematiği hem teorik hem de uygulamalı bir bilim dalı olarak ileriye taşımıştır.
Cahit Arf, modern matematiğin önemli isimlerinden biri olarak, Türk matematik biliminin gelişmesine büyük katkılar yapmıştır ve matematiğin çeşitli alanlarına önemli katkılarda bulunmuştur.
Blaise Pascal, olasılık teorisi ve matematiksel fizik alanındaki keşifleriyle matematiksel düşüncenin sınırlarını genişletmiş, Pascal Üçgeni gibi önemli bir matematiksel yapıyı sunmuştur.
John von Neumann, bilgisayar bilimleri, oyun teorisi ve matematiksel fizik alanlarında devrim niteliğinde çalışmalar yapmış, modern bilimlerin şekillenmesine önemli katkılar sağlamıştır.
Alan Turing, bilgisayar bilimlerinin temellerini atarak, yapay zekâ ve hesaplama teorisi alanlarına katkıda bulunmuş ve kriptografi alanındaki çalışmalarla II. Dünya Savaşı'na önemli bir katkı yapmıştır.

KAYNAKÇA
•  Boyer, C. B. (1991). Matematik Tarihi. (Çev. S. Çolak). İstanbul: Alfa Yayınları.
•  Swetz, F. (1994). Fibonacci ve Etkileri. (Çev. F. Demirtaş). İstanbul: Yapı Kredi Yayınları.
•  Katz, V. J. (1993). Matematiğin Tarihi: Bir Giriş. (Çev. A. Ünal). İzmir: Ekin Kitabevi.
•  Turgut, B. (2010). Cahit Arf: Türk Matematikçisinin Hayatı ve Eserleri. Ankara: Türk Dil Kurumu Yayınları.
•  Hunger, H., & Schjellerup, I. (2003). El-Harezmi: Cebirin Babası. İstanbul: Literatür Yayınları.
•  O'Connor, J. J., & Robertson, E. F. (2003). Matematikçilerin Hayatları. (Çev. S. Akın). İstanbul: Türkiye İş Bankası Kültür Yayınları.
•  Conway, J. H., & Guy, R. K. (1996). Sayıların Kitabı. (Çev. G. Kıran). İstanbul: Yapı Kredi Yayınları.
•  Knuth, D. E. (2011). Bilgisayar Programlamanın Sanatı. (Çev. H. Başar). İstanbul: Papatya Yayıncılık.
•  Dijksterhuis, E. J. (2001). Arşimet. (Çev. A. Kara). İstanbul: Boğaziçi Yayınları.
•  Turing, A. M. (1936). Hesaplanabilir Sayılar ve Entscheidungsproblem. İstanbul: Yapı Kredi Yayınları.
•  Euclid. (2000). Öğeler (Elements). (Çev. M. Erdem). İstanbul: İstanbul Üniversitesi Yayınları.
•  Blaise Pascal. (2006). Efsanevi Mektuplar ve Düşünceler. (Çev. Y. Çalışkan). İstanbul: Bilge Kültür Sanat.
•  Stillwell, J. (2002). Matematik ve Tarihi. (Çev. S. Ünal). İstanbul: Nobel Yayınları.
•  Lloyd, S. (2006). Evrendeki Programlama: Kuantum Bilgisayarları ve Kozmos. (Çev. G. Yılmaz). İstanbul: Everest Yayınları.