📚 Köklü sayılar, matematikte kesin değeri olmayan veya tam kare olmayan sayıların ifadesini kolaylaştırmak için kullanılır. Bu konu; kareköklü ve küpköklü sayılar, köklü ifadelerle işlemler ve rasyonel-irrasyonel sayılar hakkında bilgi içerir.
📌 1. Köklü Sayılar Nedir?
✅ Tanım: Bir sayının kendisiyle belirli bir sayıda çarpılarak oluşturulan değeri veren ifadeye köklü sayı denir.
✅ Genel Gösterim:
Kareköklü Sayı:
√a = b (b öyle bir sayı ki b² = a olur)
Örnek:
√9 = 3 çünkü 3² = 9
√25 = 5 çünkü 5² = 25
Küpköklü Sayı:
³√a = b (b öyle bir sayı ki b³ = a olur)
Örnek:
³√8 = 2 çünkü 2³ = 8
³√27 = 3 çünkü 3³ = 27
Not:
Karekök (√) işlemi pozitif ve negatif iki değer verir.
Örneğin, √16 = ±4 çünkü hem 4² = 16 hem de (-4)² = 16
Küpkök (³√) işlemi negatif sayılarda da tanımlıdır.
Örneğin, ³√(-8) = -2 çünkü (-2)³ = -8
📌 2. Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
✅ Rasyonel Sayılar (ℚ):
Kesir olarak yazılabilen sayılardır.
Örnekler: 1/2, 0.75, 3, -5, 4/7
Karekökü tam sayı olan ifadeler rasyoneldir.
Örnek: √9 = 3, √16 = 4
✅ İrrasyonel Sayılar (ℚ'):
Kesir olarak yazılamayan, ondalık gösterimi düzensiz (devam eden ve periyodik olmayan) sayılardır.
Örnekler: √2, √3, π (pi), e (Euler sayısı)
Karekökü tam sayı olmayan ifadeler irrasyoneldir.
Örnek: √5 ≈ 2.236, √7 ≈ 2.645
📌 3. Köklü Sayılarla İşlemler
✅ 1️⃣ Çarpma Kuralı:
√a . √b = √(axb)
�
Örnek:
√3 × √12 = √(3×12) = √36 = 6
✅ 2️⃣ Bölme Kuralı:
√a ÷ √b = √a / √b = √ (a ÷ b )
Örnek:
√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2
✅ 3️⃣ Toplama ve Çıkarma Kuralı:
Aynı kök derecesine sahip ifadeler toplanabilir ve çıkarılabilir.
Örnek:
3√2 + 5√2 = 8√2
7√3 - 2√3 = 5√3
✅ 4️⃣ Köklü İfadeleri Sadeleştirme:
Kök içinde tam kare ifadeler varsa, dışarı çıkarılabilir.
Örnek:
√50 = √(25×2) = 5√2
✅ 5️⃣ Köklü İfadeleri Üslü Sayılarla Gösterme:
Örnekler:
√16 = 16^(1/2) = 4
³√8 = 8^(1/3) = 2
⁵√32 = 32^(1/5) = 2
📌 4. Özel Kurallar ve Notlar
📌 Negatif Sayıların Karekökü Tanımlı Değildir:
√(-4) = Tanımsız çünkü hiçbir reel sayı karesi negatif olamaz.
Ancak karmaşık sayılar kullanıldığında √(-4) = 2i olarak yazılır.
📌 Kesirli Sayıların Karekökü:
√(4/9) = √4 ÷ √9 = 2/3
√(1/16) = 1/4
📌 Köklü Sayılarda Eşlenik Kullanımı (Rasyonelleştirme):
Paydada köklü ifade varsa, payda rasyonel hale getirilmelidir.
Örnek:
�5 / √2 ise; 5√2 / 2 şeklinde yazılır.
📌 5. Konu Soruları
💡 Soru 1: Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a) √72
b) √48 + √27
c) ³√(16/81)
Yanıtlar:
a) √72 = √(36×2) = 6√2
b) √48 + √27 = 4√3 + 3√3 = 7√3
c) ³√(16/81) = (³√16) / (³√81) = 2/3