Uyanan Gençlik

📘 TÜREV KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Türev nedir?
Türev, bir fonksiyonun değişim hızını yani eğimini (anlık değişimini) verir.
Geometrik anlamda bir eğrinin bir noktadaki teğet eğimini verir.
Fiziksel anlamda; hız, ivme gibi büyüklükleri ifade eder.

📌 TÜREVİN TANIMI

Türevin Tanımı (Limit Tanımı):

f'(x) = lim (h → 0) [ f(x + h) - f(x) ] / h
→ Bu tanım limit konusuyla bağlantılıdır. Genelde pratik kurallar kullanılır.

📌 TEMEL TÜREV KURALLARI

1. Sabit fonksiyonun türevi:
d/dx [c] = 0

2. x'in türevi:
d/dx

• = 1

3. xⁿ'in türevi:
d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

4. Sabit çarpan kuralı:
d/dx [c·f(x)] = c·f'(x)

5. Toplam / fark kuralı:
d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

📌 ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ


Fonksiyon   Türevi
f(x) = x   f'(x) = 1
f(x) = xⁿ   f'(x) = n·xⁿ⁻¹
f(x) = sin(x)   f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x)   f'(x) = -sin(x)
f(x) = tan(x)   f'(x) = 1 / cos²(x)
f(x) = eˣ   f'(x) = eˣ
f(x) = ln(x)   f'(x) = 1/x
f(x) = aˣ   f'(x) = aˣ·ln(a)
f(x) = logₐ(x)   f'(x) = 1 / (x·ln(a))
📌 TÜREV ALMA KURALLARI

Çarpım Kuralı:
d/dx [u·v] = u'·v + u·v'

Bölüm Kuralı:
d/dx [u / v] = (u'·v − u·v') / v²

Zincir Kuralı (Bileşke):
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

📌 TÜREVİN UYGULAMALARI

✅ 1. Teğet ve Normal Denklemi:
• f'(a) → a noktasındaki eğim
• Teğet doğrusu:
 y − f(a) = f'(a)(x − a)
• Normal doğrusu:
 y − f(a) = −1/f'(a) · (x − a)

✅ 2. Artan / Azalan Fonksiyonlar:
• f'(x) > 0 → fonksiyon artan
• f'(x) < 0 → fonksiyon azalan

✅ 3. Yerel Ekstremum (Maksimum - Minimum):
• f'(x) = 0 → kritik nokta
• f''(x) > 0 → minimum
• f''(x) < 0 → maksimum

✅ 4. Hız ve İvme:
• Konum: x(t)
• Hız: v(t) = x'(t)
• İvme: a(t) = v'(t) = x''(t)

✅ ÖZET FORMÜLLER

• (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
• (f ± g)' = f' ± g'
• (c·f)' = c·f'
• (f·g)' = f'·g + f·g'
• (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
• (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

📌 SIK SORULAN TİPLER

• Türevi tanım yoluyla bulma
• Fonksiyonun artan-azalan aralıkları
• Teğet eğimi, teğet denklemi
• En büyük-en küçük değer problemleri
• Bileşik fonksiyonun türevi