📘 KARMAŞIK SAYILAR KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Tanım:
Gerçek sayılarla çözülemeyen (özellikle negatif sayıların karekökü) durumlarda kullanılan yeni bir sayı kümesidir.
Karmaşık sayıların temel birimi: i
Tanımı: i² = -1

📌 KARMAŞIK SAYININ GENEL BİÇİMİ

z = a + bi
• a → Gerçek kısım
• b → Sanal kısım
• i → Sanal birim (i² = -1)

Örnek:
z = 3 + 4i → a = 3, b = 4
z = -2i → a = 0, b = -2

📌 TEMEL İŞLEMLER

1. Toplama / Çıkarma:
Gerçek kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında:
(3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i
(4 + i) - (2 + 3i) = 2 - 2i

2. Çarpma:
Dağıtarak yapılır, i² yerine -1 yazılır:
(2 + i)(3 - 4i) = 6 - 8i + 3i - 4i² = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i

3. Bölme:
Paydayı gerçek sayıya çevirmek için eşleniği ile genişletilir.

Örnek:
(1 + 2i) / (3 - i)
→ Eşleniği: 3 + i
→ Genişlet:
[(1 + 2i)(3 + i)] / [(3 - i)(3 + i)]
= (3 + i + 6i + 2i²) / (9 + i·3 - i·3 - i²)
= (3 + 7i - 2) / (9 + 1) = (1 + 7i) / 10 = 1/10 + 7i/10

📌 EŞLENİK (z̄)
Bir karmaşık sayının sanal kısmının işareti değiştirilirse eşleniği elde edilir:
• z = a + bi
• z̄ = a - bi

Eşleniğin çarpımı:
z · z̄ = a² + b² (daima gerçel sayı)

📌 MODÜL (|z|)
Bir karmaşık sayının modülü (uzunluğu):
|z| = √(a² + b²)

Örnek: z = 3 + 4i
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

📌 KARMAŞIK DÜZLEM (ARGAND DÜZLEMİ)

• Gerçek eksen: x ekseni
• Sanal eksen: y ekseni
• z = a + bi noktası düzlemde (a, b) olarak gösterilir
• Z = 3 + 2i → Nokta: (3, 2)

📌 i'NİN KUVVETLERİ (EZBERLE!)


Kuvvet   Değer
i⁰   1
i¹   i
i²   -1
i³   -i
i⁴   1
→ Her 4 adımda bir döngü başa döner.   
Kural: iⁿ = iⁿ mod 4'e göre bulunur   
✅ ÖZET FORMÜLLER

• z = a + bi
• z̄ = a - bi
• z · z̄ = |z|² = a² + b²
• |z| = √(a² + b²)
• i² = -1
• i⁴k = 1, i⁴k+1 = i, i⁴k+2 = -1, i⁴k+3 = -i

📌 SIK SORULAN TİPLER

• i'nin yüksek kuvvetleri
• Modül ve eşlenik hesaplamaları
• Karmaşık bölme işlemleri
• Argand düzlemde nokta belirleme
• z + z̄, z - z̄ gibi işlemler