📘 FONKSİYONLAR KONUSU ÖZETİ

Fonksiyon Nedir?
Fonksiyon, her bir giriş elemanını (bağımsız değişken) bir çıkış elemanına (bağımlı değişken) eşleyen bir ilişkidir. Yani, bir fonksiyon, bir kümeden diğer bir kümeye elemanları bir kural dahilinde atayan bir yapıdır. Fonksiyonlar genellikle f(x), g(x) gibi sembollerle gösterilir.

Örnek:
Bir fonksiyon olan f, f(x) = 2x + 3 şeklinde olabilir. Burada, x her değer için 2 ile çarpılır ve 3 eklenir.

Fonksiyonun Tanımı
Bir fonksiyon, A kümesinin her elemanını B kümesindeki bir elemana eşler. Yani, her x ∈ A elemanı için, f(x) ∈ B olmalıdır.

Örnek:
Fonksiyon: f(x) = x^2

Eğer A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 4}, fonksiyonun her bir elemanı şu şekilde eşler:

f(-2) = 4

f(-1) = 1

f(0) = 0

f(1) = 1

f(2) = 4

Fonksiyon Türleri

Birebir Fonksiyon (Injective):
Bir fonksiyon, her x ∈ A değeri için farklı bir f(x) değeri alıyorsa, bu fonksiyon birebirdir. Yani, her giriş için yalnızca bir çıkış vardır.
Örnek:
f(x) = 2x, x ∈ R → Birebirdir.

Üst Üste Binen Fonksiyon (Surjective):
Bir fonksiyon, çıkış kümesinin tüm elemanlarını kapsıyorsa, bu fonksiyon surjectivedir. Başka bir deyişle, f(x) her y ∈ B elemanını kapsar.
Örnek:
f(x) = x^2, x ∈ R → Surjectivedir, çünkü her pozitif sayıya karşılık bir x değeri vardır.

Birebir ve Üst Üste Binen Fonksiyon (Bijective):
Bir fonksiyon, hem birebir hem de üst üste binense, bijektif fonksiyon olarak adlandırılır. Her eleman bir çıkışa karşılık gelir ve her çıkışın bir girişi vardır.
Örnek:
f(x) = x, x ∈ R → Bijektif fonksiyondur.

Fonksiyon Gösterimi

Eşitlik Yöntemi (Fonksiyon Eşitliği):
Fonksiyonlar genellikle eşitlik şeklinde verilir:
f(x) = x + 2 veya f(x) = x^2, g(x) = 3x - 5

Tablo Gösterimi:
Fonksiyonlar, giriş ve çıkış elemanları arasında bir ilişkiyi göstermek için tablolarla ifade edilebilir.

Örnek:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
f(x) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Fonksiyonların Grafiksel Gösterimi
Fonksiyonlar, genellikle bir düzlemde grafikleriyle gösterilir. Bu grafik, x ve y eksenleri üzerinde, giriş (x) ile çıkış (f(x)) arasındaki ilişkiyi görsel olarak ifade eder.

Örnek:
f(x) = x^2 fonksiyonunun grafiği, parabol şeklinde bir eğri oluşturur.

Fonksiyonların Özellikleri

Tanım Kümesi (Domain):
Fonksiyonun girdiği (x) kümesine tanım kümesi denir.
Örnek:
f(x) = 1/x, tanım kümesi, x ≠ 0'dır.

Değer Kümesi (Range):
Fonksiyonun çıktığı (f(x)) kümesine değer kümesi denir.
Örnek:
f(x) = x^2, değer kümesi, f(x) ≥ 0'dır.

Sürekli Fonksiyonlar:
Bir fonksiyon, grafiği üzerinde herhangi bir kesik veya kopma olmadan düzgün bir şekilde çizilebiliyorsa, sürekli fonksiyon olarak kabul edilir.

Fonksiyonun Artan ve Azalanlık Durumu:
Eğer fonksiyon grafiği sağa doğru giderken yükseliyorsa, fonksiyon artandır. Sağdan sola doğru iniş yapıyorsa, fonksiyon azalandır.

Fonksiyonlar ile İlgili Bazı Önemli Kavramlar

Fonksiyonun Ters Fonksiyonu (Inverse Function):
Bir fonksiyonun tersi, giriş ve çıkış elemanlarının yer değiştirilmiş halidir. Bir fonksiyonun tersi yalnızca bijektif fonksiyonlar için tanımlıdır.
Örnek:
f(x) = 2x + 1 → f^(-1)(x) = (x - 1)/2

Kompozisyon (Composition) Fonksiyonları:
İki fonksiyon birleştirilerek tek bir fonksiyon haline getirilebilir. Bu işleme fonksiyonların kompozisyonu denir.
Örnek:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Örnekler

Örnek 1:
f(x) = x + 3 fonksiyonu verilsin. f(2)'yi bulalım:
f(2) = 2 + 3 = 5

Örnek 2:
g(x) = x^2 fonksiyonu verilsin. g(-3)'ü bulalım:
g(-3) = (-3)^2 = 9

Fonksiyonlar ile İlgili Sık Sorulan Konular

Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesinin belirlenmesi.

Fonksiyonların artan ve azalanlık özellikleri.

Fonksiyonların tersinin ve kompozisyonunun bulunması.

Grafiklerle fonksiyonun analizi ve belirli noktalar üzerindeki değerlerinin bulunması.