DİZİLER KONUSU ÖZETİ (Lise Düzeyi)

Dizi nedir?
Dizi, belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu bir listedir. Diziler genellikle {aₙ} şeklinde yazılır ve her bir terim sırasıyla adlandırılır.

📌 DİZİLERİN GENEL BİÇİMİ

Bir diziyi şu şekilde yazabiliriz:
a₁, a₂, a₃, a₄, ...
• aₙ → n'inci terim
• Dizinin genel terimi genellikle aₙ veya uₙ olarak gösterilir.

📌 DİZİ TÜRLERİ

Aritmetik Dizi
• İlk terim (a₁) ve ortak fark (d) ile belirlenir.
• Genel formül:
aₙ = a₁ + (n − 1)·d
• aₙ → n'inci terim
• d → Ortak fark

Örnek:
aₙ = 3 + (n - 1)·2 → 3, 5, 7, 9, ...
Ortak fark (d) = 2

Geometrik Dizi
• İlk terim (a₁) ve ortak oran (r) ile belirlenir.
• Genel formül:
aₙ = a₁ · r^(n - 1)
• aₙ → n'inci terim
• r → Ortak oran

Örnek:
aₙ = 2 · 3^(n-1) → 2, 6, 18, 54, ...
Ortak oran (r) = 3

Fibonacci Dizisi
• İlk iki terim 1, 1'dir ve sonraki terimler önceki iki terimin toplamı olarak bulunur.
• Genel formül:
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Örnek:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

📌 DİZİLERİN ÖZELLİKLERİ

• Aritmetik Dizi: Terimler arası fark sabittir.
• Geometrik Dizi: Terimler arası oran sabittir.
• Fibonacci Dizisi: Her terim, önceki iki terimin toplamıdır.

📌 DİZİLERİN LIMITİ

Bir dizinin limiti, dizinin terimleri belirli bir değere yaklaştığında o değeri ifade eder.
• Eğer aₙ → L (n → ∞) → Dizinin limiti L'dir.
• Dizilerde limit konusu, özellikle sonsuz büyük (∞) veya sonsuz küçük (-∞) terimlerde sıkça kullanılır.

📌 DİZİLERDE TOPLAM (SERİLER)

Aritmetik Serinin Toplamı
• Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı (Sₙ):
Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
• n → Terim sayısı
• a₁ → İlk terim
• aₙ → n'inci terim

Geometrik Serinin Toplamı
• Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı (Sₙ):
Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) (r ≠ 1)
• r → Ortak oran

Not:

Aritmetik dizide ortak fark, geometrik dizide ortak oran önemlidir.

Sonsuz dizilerin toplamı yalnızca ortak oranı |r| < 1 olan geometrik dizilerde bulunabilir.

📌 DİZİLERDE KONVERJANS VE DİVERJANS

• Konverjans: Bir dizi, belirli bir sayıya yakınsar (yaklaşır) ve o sayı dizinin limitidir.
• Diverjans: Bir dizi, belirli bir sayıya yaklaşmaz ve limit değeri yoktur.

✅ ÖZET FORMÜLLER


Dizinin Türü   Genel Formül
Aritmetik Dizi   aₙ = a₁ + (n - 1)·d
Geometrik Dizi   aₙ = a₁ · r^(n - 1)
Fibonacci Dizi   aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
Aritmetik Serinin Toplamı   Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
Geometrik Serinin Toplamı   Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) (r ≠ 1)
📌 DİZİLERLE İLGİLİ SIK SORULAN TİPLER

• Aritmetik ve geometrik dizilerde belirli terimlerin bulunması
• Dizinin limitinin hesaplanması
• Sonsuz dizilerde toplam (seriler) soruları
• Konverjans ve diverjans soruları