📘 BİNOM KONUSU ÖZETİ

Binom Nedir?
Binom, iki terimli ifadelerin (a + b) gibi, n doğal sayısı kadar kuvveti alınarak açılmasıdır. Bu açılım, Binom Açılımı olarak bilinir.

📌 Binom Formülü:

(a + b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n)·a^0·b^n
Burada:

C(n,r) = Kombinasyon = n! / (r!·(n - r)!)

Terim sayısı: n + 1

En büyük kuvvet a^n ile başlar, b^n ile biter.

📌 Terim Sayısı:


(a + b)^n ifadesinin terim sayısı = n + 1
📌 Binom Açılımında Genel Terim:

T_(r+1) = C(n,r) · a^(n-r) · b^r

Bu formül, (a + b)^n açılımındaki (r+1). terimi verir.

Dikkat! İndisler genellikle 0'dan başladığı için r+1. terim şeklinde yazılır.

📌 Örnek Açılım:

(a + b)^3 =
C(3,0)·a^3·b^0 +
C(3,1)·a^2·b^1 +
C(3,2)·a^1·b^2 +
C(3,3)·a^0·b^3

= 1·a^3 + 3·a^2·b + 3·a·b^2 + 1·b^3

📌 Örnek Soru:

Soru: (2x + 3)^4 ifadesinin açılımında x^2'li terim nedir?

Çözüm:
Genel terim: T_(r+1) = C(4,r) · (2x)^(4−r) · 3^r
x^2'li terim isteniyor → (2x)^(4−r) → x^2 olmalı → 4−r = 2 → r = 2

Şimdi r = 2 için terimi yazalım:

T_3 = C(4,2) · (2x)^2 · 3^2 
= 6 · 4x^2 · 9 
= 216x^2

📌 Özellikler:

✔ Binom açılımında:

a ve b'nin kuvvetlerinin toplamı her zaman n'dir.
a'nın kuvveti azalır, b'nin kuvveti artar.
Açılımdaki katsayılar Pascal Üçgeni ile de bulunabilir.

📌 Pascal Üçgeni Nedir?

Binom katsayılarının düzenli bir şekilde yazıldığı üçgendir.


n = 0 →        1 
n = 1 →       1 1 
n = 2 →      1 2 1 
n = 3 →     1 3 3 1 
n = 4 →    1 4 6 4 1 
...
Örnek:
(a + b)^3 → Katsayılar: 1, 3, 3, 1
(a + b)^4 → Katsayılar: 1, 4, 6, 4, 1

📌 Sık Sorulanlar:

Açılımda belirli bir terimi bulma
Belirli bir kuvvetin katsayısını bulma
Sabit terim bulma
Binom katsayıları ile ilgili işlem soruları