📘 2. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER KONUSU ÖZETİ
Genel biçimi:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
Burada: a ≠ 0 olmalı. Bu tür eşitsizlikler "2. dereceden eşitsizlik" olarak adlandırılır.
📌 ADIM ADIM ÇÖZÜM YÖNTEMİ
1. Denklem haline getir:
Önce eşitsizliği "0"'a eşitle:
ax² + bx + c = 0
2. Diskriminant (Δ) ile kökleri bul:
Δ = b² - 4ac
Kökleri bul:
• x₁ = (-b - √Δ) / 2a
• x₂ = (-b + √Δ) / 2a
3. Parabol mantığıyla işaret tablosu oluştur:
Denklem parabol olduğundan işaretler şu şekilde belirlenir:
• a > 0 ise kollar yukarı (gülümseyen 😊)
• a < 0 ise kollar aşağı (üzgün ☹️)
📈 DURUMLAR VE SONUÇLARI
Δ > 0 (İki farklı kök varsa):
Parabol x eksenini 2 noktada keser.
• a > 0 →
x₁ ve x₂ arasında negatif, dışında pozitif
ax² + bx + c > 0 → x < x₁ veya x > x₂
ax² + bx + c < 0 → x₁ < x < x₂
• a < 0 →
x₁ ve x₂ arasında pozitif, dışında negatif
ax² + bx + c > 0 → x₁ < x < x₂
ax² + bx + c < 0 → x < x₁ veya x > x₂
Δ = 0 (Çift katlı kök varsa):
Parabol x eksenine teğettir.
Kök: x₀ = -b / 2a
• a > 0 → Parabol hep yukarıda
ax² + bx + c > 0 → x ≠ x₀
ax² + bx + c ≥ 0 → Tüm x ∈ ℝ
ax² + bx + c < 0 → Çözüm yok
• a < 0 → Parabol hep aşağıda
ax² + bx + c < 0 → x ≠ x₀
ax² + bx + c ≤ 0 → Tüm x ∈ ℝ
ax² + bx + c > 0 → Çözüm yok
Δ < 0 (Gerçek kök yoksa):
Parabol x eksenini kesmez.
• a > 0 → Tüm değerler pozitif
ax² + bx + c > 0 → Tüm x ∈ ℝ
ax² + bx + c < 0 → Çözüm yok
• a < 0 → Tüm değerler negatif
ax² + bx + c < 0 → Tüm x ∈ ℝ
ax² + bx + c > 0 → Çözüm yok
📌 ÖRNEK SORU
Soru: x² - 3x - 4 > 0 çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
Denklem: x² - 3x - 4 = 0
Çarpanlara ayır: (x - 4)(x + 1) = 0
Kökler: x = 4 ve x = -1
a = 1 > 0 → kollar yukarı
İşaret tablosu:
• x < -1 → pozitif
• -1 < x < 4 → negatif
• x > 4 → pozitif
İstenen: > 0 → x < -1 veya x > 4
Cevap: (−∞, −1) ∪ (4, ∞)
✅ ÖZET BİLGİLER
• Eşitsizlik çözümünde kökler bulunur ve işaret tablosu yapılır
• Parabolün kolları "a" katsayısına göre belirlenir
• Δ → kök var mı yok mu onu gösterir
• Sonuçlar daima aralık olarak verilir
• Eşitlik varsa kökler dahil edilir ([ ], ≤, ≥ durumlarında)