📚 Gerçek sayılar, günlük hayatta en çok kullanılan sayı kümesidir. Bu konu, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve sayı kümeleri gibi temel matematik kavramlarını içerir. İşte detaylı konu özeti:

📌 1. Gerçek Sayılar Nedir?

✅ Gerçek sayılar (ℝ), rasyonel (ℚ) ve irrasyonel (ℚ') sayıların birleşimiyle oluşan geniş bir sayı kümesidir.

✅ Sayı doğrusu üzerindeki her noktaya karşılık gelen bir gerçek sayı bulunur.

📌 2. Sayı Kümeleri ve Özellikleri
Matematikte kullanılan sayı kümeleri aşağıdaki gibidir:

✅ Doğal Sayılar (ℕ)
Tanım: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Sembol: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

✅ Tam Sayılar (ℤ)
Tanım: Negatif, pozitif ve sıfırdan oluşan sayı kümesi
Sembol: ℤ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Özellik: Tüm doğal sayılar birer tam sayıdır.

✅ Rasyonel Sayılar (ℚ)
Tanım: Pay ve paydası tam sayı olan kesirler (p/q, q ≠ 0)
Sembol: ℚ = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
Örnekler: 1/2, -3/4, 5, 0.75, 2.333...

✅ İrrasyonel Sayılar (ℚ')
Tanım: Rasyonel sayı olarak yazılamayan, ondalık gösterimi devam eden ve düzensiz sayılar
Örnekler: π (Pi sayısı = 3.141592...), √2, e sayısı (Euler sayısı)

✅ Gerçek Sayılar (ℝ)
Tanım: Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
Sembol: ℝ = ℚ ∪ ℚ'

💡 Not: Her doğal sayı bir tam sayı, her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Ancak her rasyonel sayı tam sayı değildir.

📌 3. Gerçek Sayıların Özellikleri

✅ Sayı Doğrusunda Gösterim: Gerçek sayılar, sayı doğrusu üzerinde belirli noktalara karşılık gelir.

✅ Ondalık Gösterim:
Kesir şeklinde yazılabilenler (rasyonel) → 0.75 = 3/4
Kesir şeklinde yazılamayanlar (irrasyonel) → π ≈ 3.14159...

✅ Dört İşlem Kuralları: Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri rasyonel sayılar içinde kapalıdır ancak irrasyonel sayılarla işlem yaparken sonuç değişebilir.

📌 4. Gerçek Sayılarla İşlemler

🔹 Toplama-Çıkarma:
(rasyonel + rasyonel = rasyonel) ✅
(irrasyonel + rasyonel = irrasyonel olabilir) ❌
Örnek: 2 + √3 = irrasyonel

🔹 Çarpma-Bölme:
(rasyonel × rasyonel = rasyonel) ✅
(irrasyonel × rasyonel = irrasyonel olabilir) ❌
Örnek: (√2 × 3 = 3√2) irrasyoneldir.

📌 5. Gerçek Sayılar Konu Soruları

💡 Örnek 1: Aşağıdaki sayı kümelerini belirleyin.
7 → Tam sayı, rasyonel, gerçek sayı
-5.2 → Rasyonel ve gerçek sayı
√3 → İrrasyonel ve gerçek sayı
1/3 → Rasyonel ve gerçek sayı

💡 Örnek 2: Aşağıdaki sayıların hangi kümeye ait olduğunu belirleyin:
π → İrrasyonel
-8 → Tam sayı ve rasyonel
0.252525... → Rasyonel
√4 → Tam sayı (2), rasyonel