Konu: 8.Sınıf Matematik - EKOK Problemleri - Çözümlü Sorular

[Uyanan Gençlik]

EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:
1) Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa
2) Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa veya kaç gün sonra,kaç yıl sonra karşılaşırlar
3) Sınıfta öğrenciler sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa
4) Saat sorularında bir daha ne zaman birlikte çalarlar
5) Küçük tuğlalardan, kutulardan küp yada ev yapılıyorsa
6) Parçadan bütüne gidiliyorsa.... EKOK kullanıyoruz.

ÖRNEK:
72 VE 80'in En Küçük Ortak Katını bulalım.(EKOK)


ÖRNEK:
Ali bir torbadaki şekerleri 2'şer 2'şer, 3'er 3'er ve 4'er 4'er saydığında her defasında 1 şekeri artıyor.
Şeker sayısının 30'dan fazla bilindiğine göre, torbada en az kaç şeker vardır?

ÇÖZÜM :
Bir üsteki soruya çok benziyor. Fakat buradaki şarta dikkat etmeliyiz.
Şeker sayısının 30'dan fazla olduğunu söylemiş.
Şeker Sayısı=x diyelim
x=2a+1=3b+1=4c+1
x-1= EKOK (2,3,4) olacaktır.
Fakat EKOK: en küçük ortak kat olduğundan 12 değilde 36 alabiliriz.
Çünkü 30 dan fazla olma şartı var.
x-1=36  OLDUĞUNA GÖRE: x=37 bulunur.

ÖRNEK:
Boyutları 9cm, 15cm ve 30cm olan dikdörtgenler prizması şeklinde taşlarla, en küçük boyutta olan içi dolu bir küp oluşturmak isteniyor. Bu iş için kaç tane taş gerekir?

ÇÖZÜM :
Oluşacak küpün ayrıtının en kısa olması için bir kenarı mümkün olduğunca küçük olmalıdır. Başka bir ifade biz parçalardan bütün oluşturmak istiyoruz o zaman bizim işimiz ekokla.EKOK'la.

EKOK (9,15,30) = 90 bulunur. Küpün Bir ayrıtı 90 cm dir.
Tuğla Sayısı = Küpün Hacmi / Tuğlanın hacmi
                    = 90.90.90 / 9.15.30
                    =180 bulunur.

ÖRNEK:
Bir merdivenin basamakları, ikişer ikişer, üçer üçer ve dörder dörder çıkıldığında daima 1 basamak artıyor.
Buna göre, bu merdiven en az kaç basamaklıdır?

ÇÖZÜM :
*Merdivenin basamaklarını 2'şer 2'şer çıktığımızda 1 basamak artıyorsa Basamak Sayısı
2'nin katından 1 fazladır bunu 2a+1 şeklinde ifade edelim.
*Merdivenin basamaklarını 3'er 3'er çıktığımızda yine 1 basamak artıyormuş Basamak sayısı 3'ün katından da 1 fazladır. Bunu da 3b+1 şeklinde ifade edelim.
*Merdivenin basamaklarını bu kez 4'er 4'er çıktığımızda 1 basamak artıyor. Basamak sayısı 4c+1 olur.
Bu üç yıldızın ortak noktası basamak sayısını vermeleri.
Basamak Sayısı=2a+1=3b+1=4c+1 olur. Her taraftan 1 çıkardığımızda eşitlik bozulmaz
(Basamak sayısına x diyelim)
x-1=2a=3b=4c Bu şu demektir. Basamak sayısının 1 eksiği hem 2'nin hem 3'ün hem 4'ün bir katıdır.
Bizden en az kaç basamaklı olduğunu soruyor.
Bunu matematik dilinde EKOK (2,3,4) olarak ifade edebiliriz.

x-1= EKOK (2,3,4) = 12
x-1=12 ise x=13 bulunur.

ÖRNEK
Ayrıtları 6, 8 ve 10cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan, bir küp yapılmak isteniyor.
Bunun için en az kaç tuğla kullanılmıştır ?

ÇÖZÜM :
Öncelikle şunu anlatalım burada parçaları birleştirip bir bütün oluşturmak var.
Yani Bu durumda ekok kullanacağız.
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 6, 8 ve 10cm verilmiş. Bu dikdörtgenler prizmasından bir miktar kullanarak bunlardan küp oluşturmamız isteniyor.
Küpün bütün ayrıtlarının uzunluklarının eşit olduğunu biliyoruz.
Bu durumda Küpün bir ayrıtının uzunluğu 6,8 ve 10 sayısının bir katı olmalıdır.

EKOK (6,8,10)=120 dir.  Demek ki küpün bir ayrıtının uzunluğu 120'ymiş.

Kullanılan Tuğla Sayısı = Küpün Hacmi / dörtgenler Prizmasının Hacmi
                                    = 120.120.120 / 6.8.10 = 3600 bulunur.

ÖRNEK
Zeynep A ilacını 4 saatte bir, B ilacını 6 satte bir ve C ilacını 3 saate bir alıyor.
Zeynep bu 3 ilacı ilk olarak  saat 8:00'de birlikte aldığına göre,
İkinci kez saat kaçta her üçünü birlikte alacağını bulalım.


ÖRNEK
Ali cevizlerini 4'er 4'er saydığında 1 cevizi eksik kalıyor. 6'şar 3'şar saydığında 3 ceviz artıyor.
5'er 5'er saydığında ise 8 ceviz artıyor. Buna göre En az kaç cevizi vardır?

ÇÖZÜM :
Alinin cevizleri x olsun.
x=4k-1=6t+3=5n+8 olur her taraftan 3 çıkarırsak
x=4k-4=6t=5n+5 olur
x-3=4(k-1)=6t=5(n+1) olduğundan
x-3=EKOK (4,6,5)=60 olur.   
x=63 bulunur.

ÖRNEK
Üç saatten I.si 40 dakikada bir, II.si 60 dakikada bir, III.sü 120 dakikada bir sinyal veriyor.
İlk kez üçü birlikte saat 14:00 da sinyal verdiklerine göre, bu üç saat ikinci kez birlikte sinyal verdiğinde saat kaç olur?

ÇÖZÜM :
Bu saatlerin kaç dakikada aynı anda sinyal verdiklerini bulalım. Hepsinin ekokunu almamız yeterli olacaktır.
Çünkü üçünün de en küçük ortak katı bunu ifade eder.

Bu saatler EKOK (40,60,120)=120 dakikada bir aynı anda çalarlar.
İlk kez 14:00 ise 120 dakika  yani 2 saat sonra  16:00 da sinyal vereceklerdir.

ÖRNEK
ABCD dikdörtgeninde AB uznluğu 6 cm, BC uzunluğu 4 cm'dir.
ABCD dikdörtgeni yan yana ve alt alta yerşeltirilerek oluşturulacak en küçük alana sahip
karenin alanını bulalım.


ÖRNEK
Üç koşucu dairesel bir pisti sırasıyla 30,45 ve 50 saniyede koşmaktadır.
Aynı anda aynı yerden koşmaya başlayan üç koşucu koşmaya başladıktan sonraki 3. karşılaşmaları kaç saniye sonra gerçekleşir?

ÇÖZÜM :
İlk karşılamalarına kadar geçen süre A olsun ve bu sürede, atletler x,y,z defa tur atmış olsun.
A=30x=45y=50z
A= EKOK (30,45,50)

A=450 bulunur. Bu 1. karşılaşmaya kadar geçen süredir
Bize 3. karşılaşmaya kadar geçen süre sorulduğundan 3.450=1350 saniyedir.

ÖRNEK
10 ile bölündüğünde 4, 12 ile bölündüğünde 6 ve 22 ile bölündüğünde 16 kalanını veren en küçük sayı kaçtır ?

ÇÖZÜM :
istenen sayı x ise,
    4+6=10
    6+6=12
    16+6=22
ise x+6 sayısı 10,12 ve 22 sayılarının ortak katıdır.
    x+6=EKOK (10,12,22)
    x+6=660
    x=554 bulunur.

ÖRNEK
40, 120, 180 sayılarının EKOK’ u kaçtır?

ÇÖZÜM 16:
Ekok bulunurken bütün asal çarpanları çarpıyoruz.
EKOK: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360

ÖRNEK
Aynı anda aynı yerden hareket eden üç gemiden birincisi 5 gün, ikincisi 7 gün, üçüncüsü 9 günde bir sefere çıkıyor. Bu gemiler kaç gün sonra hep birlikte sefere çıkarlar?

ÇÖZÜM :
Bu üç geminin ilk kez kaç gün sonra karşılaşacağını bulmak için 5, 7 ve 9'un Ekok' unu bulmalıyız.
Bu üç sayı aralarında asal sayılar olduğu için birbiri ile çarparakta en küçük ortak katlarını hesaplayabiliriz.
EKOK (5, 7, 9) = 315
Bu üç gemi 315 gün sonra karşılaşarak hep birlikte sefere çıkarlar.

ÖRNEK
Bir sepetteki portakallar dörder, beşer ve altışar sayıldığında her seferinde 2 portakal artıyor.
Bu sepette en az kaç tane portakal vardır?

ÇÖZÜM:
İlk önce 4, 5 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
EKOK (4, 5, 6) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Her seferinde 2 portakal arttığına göre sepette;
60 + 2 = 62 tane portakal vardır.

ÖRNEK
Bir okulda belli aralıklarla çalan iki zilden birincisi 30 dakikada, ikincisi ise 40 dakika aralıklarla çalmaktadır. Buna göre,iki zil birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalarlar?

ÇÖZÜM :
Olay aynı anda gerçekleşeceğinden bir EKOK sorusudur.
EKOK (30, 40) =120 dakika sonra birlikte çalar.

ÖRNEK
Bir torbadaki boncuklar sekizer sekizer sayıldığında 5 tane, 12'şerli 12'şerli sayıldığnda 9 tane ve 15'erli 15'erli sayıldığnda 12 tane boncuk arrtıyor. buna göre, bu torbada en az kaç tane boncuk vardır?

ÇÖZÜM 15:
8 ER - 3 = 5 KALIYOR
12 ŞER - 3 = 9 KALIYOR
15 ER - 3 = 12 KALIYOR   Demekki 3 eksiği olmalı.

OKEK (8, 12, 15) = 120
120 - 3 = 117 olur.