Konu: YGS Matematik Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular

[sult@n]

Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi, 4 beyaz bilye vardır.

Torbadan rastgele alınan bir bilyenin mavi veya beyaz olma olasığı,
ayrık olaya örnektir. Torbadan alınan bir bilye aynı anda hem mavi
hemde beyaz olamaz.

ÖRNEK:
Bir zar atıldığında 3'ten küçük veya 5'ten büyük gelme olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Zar atıldığında aynı anda 3'ten küçük veya 5'ten büyük gelemez.
Verilen olaylar ayrık olaylardır.
Örnek Uzay:  Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve s(Ö) = 6
Zarın 3'ten küçük gelme olayı A
5'ten büyük gelme olayı B olsun.
A = {1, 2 }
B = 6
O (A) + O (B) = 2/6 + 1 /6 = 3 / 6
                                           = 1 / 2 olur. 





ÖRNEK:
Bir zar atıldığında asal sayı veya tek sayı olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Zar atıldığında aynı anda asal sayı ve tek sayı olabilir.
verilen olaylar ayrık olmayan olaylardır.
Örnek Uzay : Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve S (Ö) = 6

Zarın asal sayı gelme olayı A, ve tek sayı gelme olayı B olsun.
A = {2, 3, 5}
B = {1, 3, 5}
A n B = {3, 5}

O (A U B) = O ( A ) + O (B ) - O ( A n B )
                = 3 / 6   +  3 / 6  - 2 / 6
                = 4 / 6 = 2 / 3










ÇÖZÜM:
Prizmanın tüm alanı = 2 (ab + bc + cd )
                              =  2 ( 5.3 + 5.2 + 3.2 )
                              = 2 . 31
                              = 62
Sarı taralı bir yüzün alanı = 3 .2 = 6
Sarı taralı yüzlerin toplam alanı = 2 . 6 = 12'dir.
buna göre, sarı taralı yüzlerden birinin üst yüze gelme olasılığı,
                          12 / 62 = 6 / 31 'dir.




SORU 1)
İçerisinde 8 beyaz ve 5 sarı topun bulunduğu bir torbadan rastgele üç top seçiliyor.

En az birisinin sarı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm
Toplam 13 topum var 3 top seçeceğim

C(13,3)=286 şekilde seçebilirim

beyaz olmama olasılığı en az birinin sarı olma olasılığını verecektir

beyaz olması C(8,3)=56

1-(56/286)=115/143 gelir

SORU 2)
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} kümesinden rastgele iki sayı sayı seçiliyor.
Bu sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı nedir?

Çözüm
öncelikle örnek uzayımızı bulalım 11 sayı içinden 2 sayı seçeceğiz C(11,2)=55

sayımın tek sayı olması için seçeceğim sayılardan biri çift diğeri tek olmalıdır

6 tek sayıdan 1 sayı 5 çift sayıdan bir sayı seçmeliyim 6.5=30 sayı seçebilirim

30/55=6/11

SORU 3)
İçerisinde 4 beyaz,5 kırmızı ve 3 mavi bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele üç bilye seçiliyor.
Bu üç bilyenin aynı renkte olduğu bilindiğine göre,bu bilyelerin her üçününde kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm
üçününde kırmızı,beyaz veya mavi renklerinden birisinin olmasını istiyoruz

her üçünün kırmızı olması C(5,3)=10
her üçünün beyaz olması C(4,3)=4
her üçünün mavi olması C(3,3)=1
toplam 15

her üçünün kırmızı olması 10 idi 10/15=2/3 olasılıktır

SORU 4)
Birinci torbada 3 sarı,4 kırmızı bilye ve ikinci torbada 2 sarı 3 kırmızı bilye vardır.İkinci torbadan rastgele bir bilye çekilip birinci torbaya atılıyor.
Buna göre,birinci torbadan çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm
istediğimiz şarta göre;

İkinci torbada 2sarı üç kırmızı

I.torbada 4 sarı 4 kırmızı veya 3 sarı 5 kırmızı bilye olabilir

buna göre ikinci torbadan sarı birinci torbadan sarı veya ikinci torbadan kırmızı birinci torbadan sarı bilye gelebilir

o zaman olaslık 2/5.4/8+3/5.3/8=17/40 olur

SORU 5)
A torbasında 4 mavi,6 beyaz,B torbasında ise 2 mavi 3 beyaz bilye vardır.
A dan bir bilye atılıp, B den A ya tekrar bir bilye atıldığına torbalardaki renk durumunun bozulmama olasılığı kaçtır?

Çözüm
Renk durumunun bozulmamasını istiyorum A dan B ye beyaz bilye attığımda B den A ya beyaz bilye atmalıyım aynı koşul mavi bilye içinde geçerlidir.

A dan B ye B den A ya beyaz bilye atma olasılığı =6/10.4/6=2/5

A dan B ye B den A ya beyaz bilye atma olasılığı =4/10./6=2/5

2/5+2/5=4/5

SORU 6)
Ali ve Ayşe A şehrinden B şehrine deniz, kara, hava ve demiryolu aracılığıyla gidebilliyorlar. yani 4 farklı şekilde gidebiliyorlar. Ali ve Ayşe'nin aynı ulaşım yolunu kullanarak A şehrinde B şehrine gitme olasılığı kaçtır?

Çözüm:
A kişisi için 4 durum, ve B kişisi için de 4 durum vardır.
Tüm durumlar s(E)=4.4=16 olur.
İkisinin aynı ulasimi kullanma durumları 4 tür. ( hava, kara, su veya demiryolu)
Dolayisiyla s(A)=4 olur.
Olasilik da s(A)/s(E)=4/16=1/4 olur.

[sult@n]

C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)

1. Tanım
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

PERMÜTASYON : Birbirinden ayrılabilir nesnelerin değişik sıralarda dizilmelerini ifade eden kavramdır.

Sıralama söz konusu ise PERMÜTASYON kullanılır.



Örnek

    P(n, n) = n!
    P(n, 1) = n
    P(n, n – 1) = n! dir.

D. ÇEMBERSEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.

SORU: P (5,2) işlemin sonucu nedir?

ÇÖZÜMÜ:
P (5,2) permütasyonu 5'in 2 kez açılımını sormaktadır.
Bütün soruların çözümünde formül yerine bu kısa yolu tercih etmenizi öneririm.
5'ten geriye doğru 2 kez açıp, çıkan sayıları çarpıyoruz.

P (5,2) = 5 . 4 = 20

SORU: P (7,3) işlemin sonucu nedir?

ÇÖZÜMÜ:
7'nin üçlü permütasyonu için 7'den geriye doğru 3 kez açıp çarpıyoruz.
P(7,3) = 7 . 6 . 5 = 210

SORU: 6 öğrenci bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir?

ÇÖZÜMÜ:
6 öğrenci bir sıraya,
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 farklı şekilde oturabilir.

SORU: P(n,r) = 5 . 4 . 3 ise P (n, r) kaçtır?

ÇÖZÜMÜ:
Verilen permütasyonda 5'ten geriye doğru 3 kez açılımı sorulmuştur.
Dolayısıyla bu permütasyon P(5,3) olmalıdır.

SORU: 5 Kişi yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilir?

ÇÖZÜMÜ:
Yuvarlak masa sorularında kişi sayısı 1 azaltılarak faktöriyeli alınır.

(5−1)! = 4! = 4.3.2.1= 24

SORU: 6 kişi 2 kişilik bir koltuğa kaç değişik şekilde oturabilir?

ÇÖZÜMÜ:
5 Aday arasından bir başkanı 5 farklı şekilde seçebiliriz. Başkanı seçtikten sonra başkan yardımcısı için 4 aday kalacaktır ve başkan yardımcısı için 4 farklı kişi seçilebilir.
Başkan ve başkan yardımcısı ise;
5 . 4 = 20 farklı şekilde seçilebilir.

SORU: A={1, 2, 4, 7, 8} rakamları kullanarak, rakamları birbirinden farklı kaç tane 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir?

CEVAP:
Bir kullandığımız rakamı tekrar kullanmayacağımız için her defasında 1 rakam eksiltiriz.
Birinci basamak için 5,
İkinci basamak için 4,
Üçüncü basamak için ise 3 farklı rakam kullanılabilir.
Bu şekilde;
5 . 4 . 3 = 60 farklı doğal sayı yazılabilir.

SORU: P(3,1) − P(5,0) + P(3,3) işleminin sonucu kaçtır?

ÇÖZÜMÜ:
P(3,1) = 3 (Her sayının birli permütasyonu kendisidir.)
P(5,0) = 1 (Her sayının sıfırlı permütasyonu 1'dir.)
P(3,3) = 3.2.1 = 6
P(3,1) − P(5,0) + P(3,3) = 3 − 1 + 6 = 8

SORU: Birbirinden farklı 4 yeşil, 2 siyah kalem, bir kalemliğe dizilerek yerleştirilecektir. Kaç farklı biçimde dizilebilir?

Kalemlerin yerleştirilmesinde herhangi bir renk şartı bulunmadığı için 4+2 = 6 kalemin kaç farklı şekilde dizileceğini buluruz.
6 kalem 6! = 6.5.4.3.2.1= 720 farklı şekilde dizilebilir.

SORU: P(6,2) + P(5,1) + P(7,0) işlemin sonucu nedir?

ÇÖZÜMÜ:
P(6,2) = 6.5 = 30
P(5,1) = 5
P(7,0) = 1
P(6,2) + P(5,1) + P(7,0) = 30 + 5 + 1 = 36

SORU:
28 Kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

ÇÖZÜMÜ:
Bir başkan 28 şekilde, başkan yardımcısı ise 27 şekilde seçilebilir.
Bu seçim 28 . 27 = 756 farklı şekilde yapılabilir.

SORU: 4 Matematik ve 5 Türkçe kitabı, Türkçe kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafta kaç değişik biçimde dizilebilir?

5 kitap 5! şekilde sıralanır. Ayrıca 5 Türkçe kitabı kendi arasında 5! şekilde sıralanır.
O halde tüm sıralamalar,
5!.5! = 120.120 = 14400 olur.

SORU: 6 boncuk bir halkaya kaç farklı şekilde dizilir?

ÇÖZÜMÜ:
Bu tür sorularda da ilk önce dairesel permütasyondaki gibi 1 azaltılarak faktöriyeli bulunur. Daha sonra ise bulunan sonuç 2'ye bölünür. Çünkü halkanın sağından veya solundan başlanma şeklinde 2 durumu vardır.
(6−1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
120 / 2 = 60 farklı şekilde dizilir.

SORU: Farklı renklerde 2 tişört, 2 ayakkabı, 3 şapkası olan bir kişi bunları kaç farklı şekilde seçerek giyebilir?

ÇÖZÜMÜ:
2 Tişörtten bir tişört seçimini, 2 farklı şekilde yapar.
2 ayakkabıdan bir ayakkabı seçiminide 2 şekilde yapar.
3 şapkadan bir şapka seçiminide 3 şekilde yapar.

1 tişört, 1 ayakkabı, 1 şapka seçimini: 2.2.3 = 12 farklı şekilde yapar.

[sult@n]

Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden, sıra gözetmeksizin yapılan seçimler olarak düşünülebilir, dolayısı ile nesne grubunun tekabül ettiği kümenin alt kümeleri olarak düşünebilir. Çünkü, alt kümelerde sıra önemli değildir.

O halde şöyle tanımlayabiliriz: Bir A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin bir kombinasyonu denir.

Ahmet oyuncak dükkanında aşağıda verilen 5 oyuncağı beğeniyor.



Annesi Ahmet'e sadece 2 oyuncak alabileceğini söylüyor.
Ahmet'in kaç seçim yapabileceğini bulalım.



Ahmet alacağı oyuncağı 10 farlı şekilde seçebilir.

Bir Grup içerisinden belli sayıda elemanın kaç farklı şekilde seçilebileceğini belirlerken kombinasyon kullanırız.






































Not:
Bu örnekte 3 kız öğrenci veya 3 erkek öğrenci seçileceği için
toplama yolu ile sayma kuralı uyguladık.
Eğer 3 kız öğrenci ve 3 erkek öğrenci seçilecek olsaydı
Çarpma yolu ile sayma kuralı uygulardık.

[sult@n]

[sult@n]