Konu: 8.Sınıf Matematik - Olasılık - Konu Anlatımı

[Uyanan Gençlik]

Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir.
Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.



Olasılık kesin olmayan olaylarla ilgilenir.
Örneğin; bir zar atıldığında zarın yere düşeceği kesin, üst yüze hangi yüzün geleceği kesin değildir.

» Bir zarın havaya atılması bir deney'dir.
» Bir deneyde tüm çıkarabileceklerin kümesine örnek uzay denir. Ö harfi ile gösterilir.
» s(Ö) = Örnek uzayın eleman sayısıdır.
» Örnek uzayın her alt kümesine olay denir.
 
OLASILIK TERİMLERİ

Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay denir.

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine kesin olay denir.


A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir.
 

BİR OLAYIN OLASILIĞI

Örnek Uzayı “E”, bir olayı “A” ve A olayının olasılığını da O(A) ile gösterirsek;

ile gösterilir.

    Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

    0 £ O(A) £ 1 dir.

    O(A) = 0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir. (İmkansız olayın olasılığı 0 dır.)

    O(A) = 1 ise A olayı kesinlikle gerçeleşecek demektir. (Kesin olayın olasılığı 1 dir.)

    O(A), A olayının olma olasılığı,

    O(Aı), A olayının olmama olasılığı olmak üzere,

    O(A) + O(Aı) = 1, yani bir olay ya olur veya olmaz demektir. Bu ifadeyi
    O(A) = 1 – O(Aı) şeklinde de düşünebiliriz.
 

    A Ì B ise O(A) £ O(B) dir.

    n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n dir.

    n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6n dir.

 
AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞİMİNİN (A VEYA B OLAYININ) OLASILIĞI

A Ç B = Æ ise,

O(A È B) = O(A) + O(B) dir.


AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMİNİN (A VEYA B OLAYININ)     OLASILIĞI

O(A È B) = O(A) + O(B) – O(A Ç B) dir.
 

BAĞIMSIZ OLAYLAR

Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

O(A Ç B) = O(A) . O(B) dir

Bir olayın olasılığı sıfır ile 1 arasında bir sayıdır.
O(A) = 1 ise, olasılık tamdır. (kesin olay)
O(A) = 0 ise, böyle bir olaydan söz edilemez. (imkansız olay)
Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplam 1’e eşittir.

OLAY:
Osman kalemliğindeki 2 kurşun kalem ve 3 tükenmez kalemden birer tane seçmek istiyor.
Bu seçme işleminde önce kurşun kalemi seçmeyi, sonra ise tükenmez kalemi seçmek istiyor.

1.durum:
Yaptığı seçimde ilk çektiği kurşun kalemi beğeniyor… Tekrar kalemliğe atmıyor.

Şimdi bu olayın olasılığını hesaplayalım;

k=kurşun kalem t= tükenmez kalem
E = {k,k,t,t,t} s(E)=5
A={k} s(A)=2
B={t} s(B)=3 şeklinde temel ifadelerimizi yazalım.

O(A)= s(A)/ s(E)=2/5……………. (1) kurşun kalem çekilme olasılığını hesapladık.
Kalemlikten bir kurşun kalem aldığımız için kalemlikteki kalem sayımız bir azalmış oldu yani evrensel kümemizin eleman sayısı azaldı yeni durumda evrensel kümemiz.

E= {k,t,t,t} s(E)=4 şeklinde oldu… Sıra tükenmez kalem çekilme olayının hesabında.

O(B)= s(B)/ s(E)=3/4…………..(2) şeklinde de tükenmez kalem çekilme olasılığını hesapladık.

Şimdi ne yapacağız… Burada verilen olaylar birbiri ile ilişkili olarak verilmiştir. Yapılan işlemde bir kurşun kalem ve bir tükenmez kalem beraberliği söz konusudur o zaman bir işlem daha yapmamız gerekmektedir… Burada 1 ve 2 durumlarında bulduğumuz olasılıklar bu ifadelerin birbiriyle ilişkili olmadan hesapladığımız olasılıklardır.

Bu ifadeler beraber değerlendirildiğin de şu bağıntıyı kullanacağız…

O(A ve B) = O(A). O(B)…………* yani bulduğumuz olasılık sonuçlarını çarpacağız.
O(A ve B) = O(A). O(B)=2/5.3/4=6/20=3/10…………………(3) şeklinde olasılığı hesaplamış oluruz.

Şimdi buradaki olayı matematiksel olarak inceleyelim kurşun kalem çektik ve onu geri tekrar kalemliğe atmadık. Bunu düşündüğümüz zaman bize bir şeyler hissettirmesi gerekir…

2.Durum:
Yaptığı seçimde ilk çektiği kurşun kalemi beğenmiyor. Tekrar kalemliğe atıyor.

O(A)= s(A)/ s(E)=2/5……………. (1) kurşun kalem çekilme olasılığını hesapladık. Kalemlikten bir kurşun kalem aldık fakat tekrar geri attığımız için kalemlikteki kalem sayımız değişmemiş oldu. Yani evrensel kümemizin eleman sayısı değişmedi.

Şimdi sıra tükenmez kalem çekilme olayının tekrar hesabında farklılığı burada göreceğiz.

O(B)= s(B)/ s(E)=3/5 şeklinde hesaplarız.(3/4 iken 3/5 oldu)

Son basamağa gelelim olayımızın olasılığını hesaplamaya… Aynı olasılık formülümüzü kullanacağız…

O(A ve B) = O(A). O(B)= 2/5.3/5 = 6/25 ……………(4) (3/10 du şimdi 6/25 ) oldu.

1. durumda kurşun kalemin tekrar kalemliğe atılmaması, kalemlikten çekilecek olan kurşun kalemin olasılığını etkilemiştir. Bu olaya biz burada BAĞIMLI OLAY diyoruz.

2. durumda kurşun kalemin tekrar kalemliğe atılması tükenmez kalem çekilme olasılığının sonucuna etki etmez bu olaya da BAĞIMSIZ OLAY diyoruz.

Her iki olay durumu içinde * ile belirttiğimiz formülümüzü kullanıyoruz.

YAŞANAN OLAYLARIN BAĞIMSIZ OLAY YADA BAĞIMLI OLAYOLMASI OLASILIK SONUÇALRIMIZ DEĞİŞMESİNE NEDEN OLUR BURADA 3 VE 4 SONUÇLARININ FARKLI OLMASI GİBİ

OLASILIK ÇEŞİTLERİ

Teorik, Deneysel, Öznel
 
Kelime anlamıyla ‘Olasılığı’ incelediğimizde aklımıza ilk gelen ‘İhtimal’ kelimesi oluyor.
İhtimali düşündüğümüz zaman daha anlamlı hale geliyor çünkü günlük hayatta daha çok ihtimal kelimesini kullanıyoruz.

1) Teorik Olasılık:
Sonucu daha çok matematiksel işleme dayanan olasılık çeşididir. İsminden biraz hissetmiştik dediğinizi duyar gibi oluyorum ve haklısınız aynı zamanda…
Bir örnekle anlamaya çalışalım.



Örnek:
Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzünde 4 gelme olasılığını hesaplayalım.

Çözüm:
Evrensel kümemiz E olsun
E={1,2,3,4,5,6} şeklindedir.
İstediğimiz sonuçların kümesini B ile gösterelim
B={4} şeklindedir.
Şimdi sıra olasılıkta O(4)=1/6 buluruz.
İşte bu yaptığımız işlem teorik olasılığa bir örnektir.
Biz burada elimize zar alıp atmayı deneseydik veya iki arkadaş farklı zarlarla bu sonucu bulmaya çalışsaydık.

2) Deneysel Olasılık:
Deney yaparak yapılan olasılık bulma işlemine de deneysel olasılık diyeceğiz.



Örnek:
Ahmet hilesiz bir zarı havaya atıyor. Zarın üst yüzüne 4 gelmesi olasılığını hesaplamak istiyor.

Çözüm:
Bu işlemi deneyle yapıyor yani zarı 10 kez havaya atıyor ve üst yüzüne gelen sayıları kaydediyor.
E={1,1,2,3,4,4,4,5,5,6} şeklinde sonuçlarını kaydediyor.
B= {4} fakat s(B)=3 şeklinde olur.
O(B)=3/10 şeklinde olasılık hesaplanır.
Burada aynı soru olmasına rağmen teorik olasılıkta bulduğumuz sonuçla bu sonucun farklı olduğuna dikkat edelim…

3) Öznel Olasılık:
Sonucu kişiden kişiye değişen olasılığa öznel olasılık denir.



Örnek: Göktuğ ve Sinem hilesiz bir zarı havaya atıyor. Zarın üst yüzüne 4 gelmesi olasılığını hesaplamak istiyorlar.

Çözüm: Burada Göktuğ birinci örneğimizdeki gibi
E={1,2,3,4,5,6} şeklindedir.
B={4} şeklindedir.
Şimdi sıra olasılıkta O(4)= 1/6 buluyor. Yaklaşık % 17..

Sinem ise;
E={1,2,3,4,4,5} şeklinde deney sonuçlarını kaydediyor.
B= {4} fakat s(B)=2 şeklinde olur.
O(B)= =2/6 şeklinde olasılığı hesaplıyor.
Yaklaşık %35

Gördüğümüz gibi bulunan sonuçlar farklıdır çünkü sonuca gidilen yöntemler farklıdır birincisi teorik olasılık ikincisi ise deneysel olasılıktır.
Burada birini %17 diğerinin %35 bulması sonucun kişiden kişiye değiştiğini göstermektedir.
Buda öznel olasılığı ifade eder.

Örnek: Ö=(M,A,R,M,A,R,A) s(Ö)=7
çekilen bir harfin A olma olasılığı O(A)=3/7
çekilen bir harfin A olmama olasılığı O(A')=1-3/7=4/7







Bağımsız olay:
Birbirlerini etkilemiyorlarsa ( para - zar )
P(A Ç B)= P(A) . P(B)

örnek: Para ile zar aynı anda atılıyor. Paranın yazı, zarında 3 gelmesi olasılığı kaçtır?
P(A Ç B)= 1/2 . 1/6 = 1/12

Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı:

P(AUB)= P(A) + P(B)

örnek: Bir kutuda 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır. Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
P(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5

Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A Ç B)

örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3'ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz?
E=(1,2,3,4,5,6)
A=(4,5,6)
B=(2,4,6)
A Ç B=(4,6)
P(AUB)= 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3

Problem: Okan, alfabemizdeki bütün harfleri aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazarak boş bir kutuya atmıştır. Emel, kutudan rasgele bir kâğıt çekmiştir.
Çekilen kâğıtta ünlü harf olma olasılığı nedir?

Deney: Eş özelliklere sahip kâğıt üzerine yazılmış olan alfabemizdeki harflerden birinin seçilmesi.

Örnek uzay:

O={alfabemizdeki tüm harfler} veya

Ö={a,b,c,ç,d,e,f,g,ğ,h,ı,i,j,k,l,m,n,o,ö,p,r,s,ş,t,u,ü,v,y,z}, s(Ö)=29

Olay:

H={bir ünlünün çekilmesi}veya H={a,e,ı,i,o,ö,u,ü}, s(H)=8

Olayın çıktıları:

a, e, ı, i, o, ö, u, ü

Eş olasılıklı olma:  Her bir harfin çekilme olasılığı eşittir.

Evrensel kümede her bir eleman bir kez yazılır fakat örnek uzayda çıktılar kaç tane ise o kadar yazılır.

    Örnek:

    a. “MATEMATİK” kelimesinin harflerinden oluşan evrensel küme: E={M, A, T, E, İ, K}

    b. “Matematik” kelimesinin her bir harfi aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazılarak torbaya atılmıştır.

     “Bakmadan bir kâğıt çekildiğinde çıkan harfin “A” olma olasılığı nedir?” sorusundaki örnek uzay:     

     Ö={M, A, T, E, M, A, T, İ, K}