Konu: Denklem (Matematik) - Ansiklopedik Bilgi

[busegül]

(x+y)2 =x2+2xy+y2 özdeşlik x2-3x+2=0 ise bir denklemdir.

x2-3x+2=0 denklemi sâdece x=1 ve x=2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur. Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi aynı olan denklemlere “homojen denklem” denir.

Yüzey denklemi: Üç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir.

Eğri denklemi: Eğri, târifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z)=0 ve g (x,y,z)=0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir:

y2=2x, y=3x, x2+y2=1

birer eğri denklemidir.

Cebirsel denklem:Terimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir.

Denklem sistemi: Ortak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu.

Lineer denklem:Değişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem. Meselâ:

3x+y=5, 8x+9=3 gibi.

Logaritmik denklem:Bilinmeyenlerin logaritmik fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir.

logx+3log3x=4 gibi.

Transandant denklem: Cebirsel olmayan denklemlerdir. Logaritmik, üstel, trigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir.

Denklemler teorisi:

Denklemler teorisi

f(x) = anxn+an-1xn-1+.... + a1x + a0=0

çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir.

Çarpan teoremi: Eğer (n’inci) mertebeden f(x)=0 denkleminin x=a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere:

f(x)=(x-a)g(x)

yazılabilir.

Kök sayısı: Bir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır.

Katlı kök: Eğer:

f(x)=(x-a)kg(x)

yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür.

Meselâ:

x3+x2-5x+3=(x-1)2(x+3)=0

denkleminde x=1 iki katlı kök, x=-3 tek katlı köktür.

Karmaşık kök: Eğer gerçel katsayılara sâhip f(x)=0 denkleminin bir kökü x=a+ib ise, x=a-ib de diğer bir köktür.

Gerçel kökün yeri: Eğer gerçel katsayılara sâhip f(x) için f(a) ve f(b) ters işâretli değerler ise, a ve b arasında f(x)=0 denkleminin bir kökü vardır. Meselâ f(x)=x5-x-1=0 da f(1)=-1 ve f(2)=29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır.

İkinci derece denklem: a2+bx+c=0 denkleminin en çok iki kökü bulunur.

gerçel çözümün olması için karekök altınadaki ifâdenin negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki ifâde sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur.