Örnek:
1212121212 → bu 10 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplamını 9'a bölüyoruz.
1+2+1+2+1+2+1+2+1+2 = 15 olur.
15 in 9 ile bölümünden pratik olarak rakamları toplamı: 1 + 5 = 6 olur.
Yada 15'i dokuza bölün kalan 6 olacaktır.
Örnek:
37 basamaklı 4444.....4 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplamını 9'a bölüyoruz.
Bu durumda bu sayının rakamları toplamı:
37 . 4 = 148 → (8+1=9) bu sayının 9'a bölümünden kalan 4 olur.
Örnek:
123123...123 → bu sayı 36 basamaklı olduğuna göre 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplamını 9'a bölüyoruz.
Bu durumda bu sayının rakamları toplamı:
123 → devreden 3 sayımız var. 36 basamak olduğundan;
36 : 3 = 12 tane 123 var diyebiliriz.
1+2+3 toplamı: 6 olduğundan
12 tane 123 toplamını bulacak olursak: 12 . 6 = 72 olur.
72 nin 9 ile bölümünden kalan: 7 + 2 = 9 olduğundan kalan 0 olur.
NOT:
A'nın X ile bölümünden kalan M ve
B'nin X ile bölümünden kalan N ise ;
A + B
A - B
A . B
2A + 3B
.... Gibi işlemlerin X ile bölümünden kalan kalan nedir?
Çözüm Yolu:
Bu gibi sorularda A gördüğümüz yere kalan M'yi,
B gördüğünüz yerede kalan N'yi yazın.
A + B → M + N
A - B → M - N
A . B → M . N
2A + 3B → 2 . M + 3 . N
Bu sayıların X ile blümünden kalan bize sonucu verir.
Örnek:
A'nın 9 ile bölümünden kalan 5'tir.
B'nin ise 9 ile bölümünden kalan 3'tür.
A² + 4B nin 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
A gördüğümüz yere: 5
B gördğimiz yere 3 yazıyoruz.
A² + 4B = 5² + 4 . 3 = 25 + 12 = 37
37 sayısının 9 ile bölümünden kalan:
Rakamları toplamı: 10 olur.
10 'un 9 ile blümünden kalan 1 olur.
Örnek:
1997 . 2003 + 2012 . 1579 işleminin sonucunun 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
5 ile bölünebilmede kalanı bulmak için bir'ler basamağını düşünüyorum.
5 ile tam bölünebilmesi için, birler basamağı 0 veye 5 olmalı.
Birler basamağı 5'ten büyük bir rakam ise; o rakamdan 5 çıkarılır.
1997 → 7 - 5 = 2 olur. (5 ile bölümünden kalan 2)
2003 → 3 (5 ile bölümünden kalan 3)
2012 → 2
1579 → 9 - 5 = 4
Buna göre işlemi düzenlersek:
1997 . 2003 + 2012 . 1579
2 . 3 + 2 . 4 = 6 + 8
= 14 bu sayınında 5 ile bölümünden kalan 4'dir.
Örnek:
3X4Y → dört basamaklı doğal sayısı, 5 ile kalansız bölünmekte,
3 ile bölümünden kalan ise 1 olmaktadır.
X'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
Eğer aynı anda birden fazla bölünebilme kuralı birlikte veriliyorsa,sayıların kurallarına dikkat edilir.
5'in kuralı → sadece 1'ler basamağı var. 3X40 veya 3X45 olmalı
3'ün kuralı → Bütün rakamlar var. Basamak değerleri toplamı 3'ün katı olmalı. Kalan 1 sonra ilave edilmeli.
Buna göre:
3' ile bölünebilmesi için rakamları topmaı 3 ve katı olmalı:
3 X 4 0 3 X 4 5
↓ ↓
2 0
5 3
8 6
9
Kalan 1 olduğu için bu sayılara 1 ilave edersem:
3 X 4 0 → x in alacağı değerler: 0, 3, 6, 9 olur.
3 X 4 5 → x in alacağı değerler: 1, 4, 7 olur
X'in alabileceği farklı değer sayısı : 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9 → 7 olur.
Not:
34a52 sayı 5 basamaklı bir doğal sayıdır. 3 ile kalansız bölünebildiğine göre bilgisi verilmişse;
3 ile bölünebilmede rakamlar toplamı 3 ve 3'ün katı olacağından 3'ü görmezden gelebilirim.
5 + 4 = 9 olacağından buda görmezden gelinir.
Geriye a iile 2 kaldı.
O halde a = 1 olur diyebilirim.
a'nın alacağı değerler:
1, 4, 7 olur. (3'er artarak gittiğine dikkat edin)
Örnek:
52a4 sayısı dört basamaklı bir doğal sayıdır.
Bu sayı 4 ile kalansız böünebilmektedir.
a kaç farklı değer alır?
Çözüm:
4 ile bölünebilme kuralı: son iki basamağa bakılır. 4'ün katı olmalıdır.
52a4 → 04, 24, 44, 64, 84,
(4'ün katı olduğu için çift değerler verildiğine dikkat edin)
a'nın alacagğı değerler: 0, 2, 4, 6, 8 → 5 tanedir.
Not:
13a6 4 ile kalansız böünebiliyosa, a'nın alacağı değerler:
Son iki basamağa bakıyorum 4'ün katı olmadığından;
a6 → 16, 36, 56, 76, 96 şeklinde olurdu.
a nın alacağı değerler → 1, 3, 5, 7, 9 olur.
(4'ün katı olmadığı için tek değerler verildiğine dikkat edin)
Örnek:
573a sayısı 4 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 4 ile kalansız bölünebildiğien göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
5 7 3 a → son iki basamak 4 ve 4'ün katı olacağından:
↓
2
6
a'nın alacağı değerler toplamı: 3 + 6 = 9 olur.
Örnek:
578a sayısı 4 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 4 ile kalansız bölünebildiğien göre, a nın alacağı değerler kaç tanedir?
Çözüm:
5 7 8 a
↓
0
4
8
a'nın alacağı değerler: 0, 4, 8 → 3 tanedir.
Örnek:
7a3261 sayısı 6 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 9 ile kalansız bölünebildiğiden göre, a nın alacağı değerler kaç tanedir?
Çözüm:
Bu sayı 9 ile kalansız bölünebildiğiden rakamları toplamı 9 ve 9'un katıdır.
O halde 9 toplamları görmezden gelinir.
7 + 2 = 9 ve 6 + 3 = 9
Geriye kalanlar a ve 1 oldu
a + 1 = 9 ve katı olacağından
↓
8
a nın alacağı değer sadece 8 dir.
Örnek:
a doğal sayısının 19 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, a⁵ + 17 sayısının 19 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
"a" yerine a'nın 19 ile bölümünden kalanını yazarsak:
a⁵ + 17 → 3⁵ + 17 = 243 + 17 = 260
260 : 19 işlemini çözersek kalan 13 olur.
Örnek:
4x5y sayısı 12 ile kalansız bölünebildiğine göre x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
Bir sayının 12 ile kalansız bölünebilmesi için 3 ve 4 ile kalansız bölünmesi gerekir.
4 ile bölünebilmeye bakalım. Son iki basamağa bakıyoruz.
4X5y
↓
2 → 4x52
6 → 4x56 olur.
3 ile bölünebilmede rakamları toplamına bakıyoruz. 3 ve 3'ün katı olmalı.
4x52 → 4+2 = 6 olduğundan (4 ve 2 görmezden gelinir)
↓
1 (1 + 5=6)
4
7 (x'in alabileceği burada 3 değer var)
4x56 (5 + 4 = 9 ; 6 görmezden geliinir)
↓
0
3
6
9 (x'in alabileceği burada 4 değer var)
X'in alabileceği toplam değerler: 3 + 4 = 7 olur.
Örnek:
5a2b → dört basanmaklı doğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 1'dir. Buna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu sayının 36 ile bölünebilmesi için 4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. (9 . 4 = 36 aralarında asal)
Daha az basamak isteyenden başlanır.
4 ile bölünebilmeye bakalım. Son iki basamağa bakıyoruz. 4 ve 4'ün katı olmalı:
5a2b → son 2 basamağa bakarsak: 2b → (0, 4, 8) olur. Kalan bir olduğundan 1 arttıralım.
↓
1
5
9
9 ile bölünebilmesi için; rakamları toplamı 9 ve katı omalı.
5a21 → 5+2+1 = 8 ise 9 bölününmesi için 1 olur. 1 kalan olacağından:
↓
2
5a25 → 5+2+5 = 12 ise 9 bölününmesi için 6 olur. 1 kalan olacağından:
↓
7
5a29 → 5+2= 7 ise 9 bölününmesi için 2 olur. 1 kalan olacağından
↓
3
o halde a'nın alacağı değerler toplamı: 2+7+3 = 12 olur.
Örnek:
3x4y sayısı 15 ile bölümünden kalan 8'dir.
x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
Normalde 15 ile bölümden kalan 8 olması normal ama;
15 in bölünebilme kuralı 3 ve 5 ile bölünebilir olması gerektiğinden 8 kalan fazla olur.
Bu sayının 5 ile bölünebilme durumuna bakalım.
Kalan 8'i 5'e bölersem kalan 3 olacaktır.
5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalı:
3x4y → (y=0 ve y=5 olursa tam bölünür. Ama kalan 3 olacağından)
↓ 0+3=5 ve 5+3 = 8 olur.
3
8
3 ile bölünebilmesi için kalan 3 ve 3 ten küçük olmalı
8 : 3 işleminde kalan 2 olacaktır.
3x43 → (x + 4 işleminde x = 2 ve x = 5 olursa 3 'e tam bölünür. Ama kalan 2 olacağından)
↓ 2, 5, 8 tam bölünür.
1 (3"er 3'er arttığından geriye 1 yazmayı unutmayın.)
4
7
10 (rakam olmadığından olamaz)
3x48 → 8 + 4 = 12 ve 3 katı olduğundan göz ardı edilir,
↓ 0, 3, 6, 9 tam bölünür kalan 2 olacağında 2 ile toplarsak:
2
5
8
11 olmaz.
X'in alabileceği değerler: 1, 4, 7, 2, 5, 8 olmak üzere 6 tanedir.
Örnek:
7a3b sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir.
9a1b sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
a ve b sayıları aynı basamakta yer aldıklarından diğer sayıların farkı sabittir.
9a1b → aynı basamaktaki sayıları değersiz yapmak için b= 0 ve a = 0 alıyoruz.
9010
7030
-______
1 9 8 0 aradaki farkı 1980 : 7'e bölersek kalan: 6 olur.
7'ye bölümlerinde kalnı toplarsak
(7a3b) + (1980) = (7a3b)
1 6 7 (7 bölümden kalan 7 olması mümkün değil)
7 : 7 işleminde kalan 0 olur.
Örnek:
x ve y birer pozitif tamsayı olmak üzere,
(8x + 4) . (8y + 10) çarpımının 16 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
x = 0 ve y = 1 olsun. Buna göre çözelim.
(8x + 4) . (8y + 10) = (8.0 + 4) . (8.1 + 10 )
= 4 . 18
= 72
72 sayısını 16'ya bölersek kalan 8 bulunur.
Örnek:
a = 1979 ve b = 1543 doğal sayılalarıdır.
a.b çarpımını 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
sayıların ayrı ayrı 9 ile bökümünden kalanına bakalım.
1979 → rakamları toplamı 9 ve 9'un katı olanlar görmezlikten gelinir.
1979 → 8 (9 ile bölümünden kalan)
1543 → (1+5+3=9) (9 ile bölümünden kalan) → 4
a . b = 8. 4 = 32
32 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 olur.
Örnek:
8x3y dört basamaklı bir sayıdır.
Bir kişi 8x3y'yi her gün eşit miktarda harcayarak 15 günde bitiriyor. Buna göre bu kişi bir günde en çok kaç lira harcayabilir?
Çözüm:
Bu sayı 15 günde bittiğinden 15 ile tam bölünebilmelidir.
15 ile bölünebilmesi için 3 ve 5 ile bölünmesi gerekir.
5 ile bölünebilme kuralına göre:
birler basmağı 0 veya 5 olmalı
8x3y ve 8x3y olmalı.
↓ ↓
0 5 (y'nin alabileceği en büyük değer)8
3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3 ve katı olmalı.
8x30 → (3 ve 0 gözardı edilir)
↓
1
4
7
10
8x35 → (3 gözardı edilir 8+3+5 = 16)
↓
2
5
8 (x'in alacağı en büyük değer)
sayımız en büyük değerde olmalı
8x3y → 8835 olur. Bir günde harcaması: 8835 : 15 = 589 lira en çok harcar.
0 Yanıt
6799 Gösterim