C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)1. Tanım
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
PERMÜTASYON : Birbirinden ayrılabilir nesnelerin değişik sıralarda dizilmelerini ifade eden kavramdır.
Sıralama söz konusu ise PERMÜTASYON kullanılır.
Örnek P(n, n) = n!
P(n, 1) = n
P(n, n – 1) = n! dir.
D. ÇEMBERSEL (DÖNEL) PERMÜTASYONn tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
SORU: P (5,2) işlemin sonucu nedir?
ÇÖZÜMÜ:
P (5,2) permütasyonu 5'in 2 kez açılımını sormaktadır.
Bütün soruların çözümünde formül yerine bu kısa yolu tercih etmenizi öneririm.
5'ten geriye doğru 2 kez açıp, çıkan sayıları çarpıyoruz.
P (5,2) = 5 . 4 = 20
SORU: P (7,3) işlemin sonucu nedir?
ÇÖZÜMÜ:
7'nin üçlü permütasyonu için 7'den geriye doğru 3 kez açıp çarpıyoruz.
P(7,3) = 7 . 6 . 5 = 210
SORU: 6 öğrenci bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir?
ÇÖZÜMÜ:
6 öğrenci bir sıraya,
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 farklı şekilde oturabilir.
SORU: P(n,r) = 5 . 4 . 3 ise P (n, r) kaçtır?
ÇÖZÜMÜ:
Verilen permütasyonda 5'ten geriye doğru 3 kez açılımı sorulmuştur.
Dolayısıyla bu permütasyon P(5,3) olmalıdır.
SORU: 5 Kişi yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilir?
ÇÖZÜMÜ:
Yuvarlak masa sorularında kişi sayısı 1 azaltılarak faktöriyeli alınır.
(5−1)! = 4! = 4.3.2.1= 24
SORU: 6 kişi 2 kişilik bir koltuğa kaç değişik şekilde oturabilir?
ÇÖZÜMÜ:
5 Aday arasından bir başkanı 5 farklı şekilde seçebiliriz. Başkanı seçtikten sonra başkan yardımcısı için 4 aday kalacaktır ve başkan yardımcısı için 4 farklı kişi seçilebilir.
Başkan ve başkan yardımcısı ise;
5 . 4 = 20 farklı şekilde seçilebilir.
SORU: A={1, 2, 4, 7, 8} rakamları kullanarak, rakamları birbirinden farklı kaç tane 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir?
CEVAP:
Bir kullandığımız rakamı tekrar kullanmayacağımız için her defasında 1 rakam eksiltiriz.
Birinci basamak için 5,
İkinci basamak için 4,
Üçüncü basamak için ise 3 farklı rakam kullanılabilir.
Bu şekilde;
5 . 4 . 3 = 60 farklı doğal sayı yazılabilir.
SORU: P(3,1) − P(5,0) + P(3,3) işleminin sonucu kaçtır?
ÇÖZÜMÜ:
P(3,1) = 3 (Her sayının birli permütasyonu kendisidir.)
P(5,0) = 1 (Her sayının sıfırlı permütasyonu 1'dir.)
P(3,3) = 3.2.1 = 6
P(3,1) − P(5,0) + P(3,3) = 3 − 1 + 6 = 8
SORU: Birbirinden farklı 4 yeşil, 2 siyah kalem, bir kalemliğe dizilerek yerleştirilecektir. Kaç farklı biçimde dizilebilir?
Kalemlerin yerleştirilmesinde herhangi bir renk şartı bulunmadığı için 4+2 = 6 kalemin kaç farklı şekilde dizileceğini buluruz.
6 kalem 6! = 6.5.4.3.2.1= 720 farklı şekilde dizilebilir.
SORU: P(6,2) + P(5,1) + P(7,0) işlemin sonucu nedir?
ÇÖZÜMÜ:
P(6,2) = 6.5 = 30
P(5,1) = 5
P(7,0) = 1
P(6,2) + P(5,1) + P(7,0) = 30 + 5 + 1 = 36
SORU:
28 Kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
ÇÖZÜMÜ:
Bir başkan 28 şekilde, başkan yardımcısı ise 27 şekilde seçilebilir.
Bu seçim 28 . 27 = 756 farklı şekilde yapılabilir.
SORU: 4 Matematik ve 5 Türkçe kitabı, Türkçe kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafta kaç değişik biçimde dizilebilir?
5 kitap 5! şekilde sıralanır. Ayrıca 5 Türkçe kitabı kendi arasında 5! şekilde sıralanır.
O halde tüm sıralamalar,
5!.5! = 120.120 = 14400 olur.
SORU: 6 boncuk bir halkaya kaç farklı şekilde dizilir?
ÇÖZÜMÜ:
Bu tür sorularda da ilk önce dairesel permütasyondaki gibi 1 azaltılarak faktöriyeli bulunur. Daha sonra ise bulunan sonuç 2'ye bölünür. Çünkü halkanın sağından veya solundan başlanma şeklinde 2 durumu vardır.
(6−1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
120 / 2 = 60 farklı şekilde dizilir.
SORU: Farklı renklerde 2 tişört, 2 ayakkabı, 3 şapkası olan bir kişi bunları kaç farklı şekilde seçerek giyebilir?
ÇÖZÜMÜ:
2 Tişörtten bir tişört seçimini, 2 farklı şekilde yapar.
2 ayakkabıdan bir ayakkabı seçiminide 2 şekilde yapar.
3 şapkadan bir şapka seçiminide 3 şekilde yapar.
1 tişört, 1 ayakkabı, 1 şapka seçimini: 2.2.3 = 12 farklı şekilde yapar.
0 Yanıt
7293 Gösterim