Konu: Üçgen - Ansiklopedik Bilgi

[D®agon]

Alm. Dreieck (n), Fr. Triangle (m), İng. Triangle.

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarından meydana gelen geometrik şekil.





Burada; A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve



doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.

Bu noktalara köşe, doğru parçalarına kenar ve kenarlar arasındaki açılara iç açı denir.
Bir kenarla diğer bir kenarın köşeden dışarı taşan uzantısı arasında kalan açıya da dış açı denir.

Üçgenin herhangi bir kenarı taban olabilir. Tabanın karşısındaki köşeye tepe, açısına da tepe açısı denir.
Tepe noktasından tabana çizilen dik doğru parçasına ise yükseklik denir. Bir kenarın orta noktasını karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına kenarortay, açıları ikiye bölen doğrulara ise açıortaylar denir. Üç köşeden geçen çembere üçgenin çevrel çemberi, kenarlara içten teğet olacak şekilde çizelen çembere de iç çember adı verilir. Çevrel çemberin merkezi, kenar orta dikmelerin kesişme noktasıdır. İç teğet çemberin merkeziyse iç açıortayların keşişme noktasıdır.

Üçgenlerin türleri
Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar v.b.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına göre üçgenler:

Eşkenar üçgen
Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının herbiri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

İkizkenar üçgen
İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.

Çeşitkenar üçgen
Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur

Açılarına Göre Üçgenler

Dar açılı üçgen
Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Dik açılı üçgen
Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Geniş açılı üçgen
Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Üçgenlerle İlgili Özellikler ve Teoremler:

Üç kenar eşitse (eşkenar üçgen) iç açıların her biri 60°’dir.

Bir üçgende birden fazla geniş veya dik açı olamaz.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Bir dış açı komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

İki kenarın toplam uzunluğu üçüncü kenardan dâima fazladır.

Üç kenarın orta dikmeleri bir noktada kesişir (çevrel çemberin merkezi).

İç açıortaylar bir noktada kesişir (iç çemberin merkezi).

Açıları eşit ve karşılıklı kenarı orantılı üçgenlere benzer üçgenler denir.

Euclide geometrisinde üçgen sinüs ve kosinüs teoremlerine göre incelenir. A,B,C açıları a,b,c de bunların karşılarındaki kenarlar, R çevrel çemberin yarıçapı olmak üzere sinüs teoremi,

a/Sin A= b/Sin B= c/Sin C= 2R olarak, kosinüs teoremi ise, a2= b2+c2-2bc-Cos a olarak ifâde edilir.

Bir açı ortay karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı olarak böler.

Bir kenara çizilen paralel diğer kenarları orantılı böler ve meydana gelen küçük üçgen, büyük üçgene benzerdir.

Üç kenara âit yüksekliklerin kesim noktasına orto-santr denir.

Üst üste konulduğunda üçgenin elemanları denen kenar ve açılar çakışırsa bu üçgenler eşittir. İki üçgenin eşit olması için şu teoremlerden birinin sağlanması gerekir:

a - Birer kenarları ve bu kenara komşu açıları eşit (AKA).

b - İkişer kenarı ve aralarındaki açıları eşit (KAK).

c - İkişer kenarı ve büyük kenarın karşısındaki açı eşit (KKA).

d - Üçer kenarı eşit.

e - Hipotenüsleriyle birer dar açıları eşit dik üçgenler.

f - Hipotenüsleriyle birer dik kenarları eşit dik üçgenler.

g - Üç açısı eşit üçgenler eşit olmayıp, sadece benzer üçgenlerdir.

Küre Yüzeyinde Üçgen:
Küre yüzeyindeki bir üçgenin kenarları çember yaylarından ibârettir. Bu yayların kesim noktaları ise köşeleri teşkil eder. Kenarlar arasındaki açılar, kenar yaylarından ve küre merkezinden geçen dâirevî düzlemler arasındaki açılarla ifâde edilir. Bu açılar ise yarıçapı, küre yarıçapı olan üçgen kenar yaylarının uzunluğu ile ölçülür. Kenar yayları ve açıların her biri 180°’den küçüktür. Üç elemanı (kenar yayları veya açılar) 90° ise bu üçgen sekizde bir küre yüzeyinden ibarettir. Buna benzer pekçok (düzlemdeki üçgenden farklı olan) özellik vardır.

Pascal Üçgeni:
(a+b)n gibi cebrik bir ifâdenin açılımını bulurken katsayıların tespitinde kullanılan üçgen şeklindeki sayı tablosudur. (Bkz. Binom Teoremi)

Üçgen bağıntıları:

Pisagor Bağıntısı
Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:



Alan hesaplamaları:

Kenardan yararlanma:

Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

 

Açıdan yararlanma
Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.