Konu: Tam kare ifadeler - Çözümlü Sorular

[Ders Hocası]

Tam kare ifadelerin açılımı:
(x + y)² = x²  +  2xy  +  y²
  ↓    ↓        ↓          ↓        ↓
 1.   2.  1.nin    1. ile 2.    2.nin karesi
            karesi  çarpımının
                          2 katı

(x - y)² = (x + y)² - 4xy

Örnek:
(x + 4)²  açılımını yapalım

Çözüm:
(x + 4)²
  ↓    ↓
 1.  2.
1. nin kartesi: x²
1. ile 2.nin çarpımının iki katı: 2.4.x = 8x
2. nin karesi: 4² = 16
Sonuç:
(x + 4)² = x² + 8x + 16

Örnek:
Aşağıdaki ifadeler tam kare midir?
• x² - 6x + 9
• x² - 8x + 16
• x² + 10x + 25
• x² + 12x + 36

Çözüm:
x² - 6x + 9 = (x -3)²  tam karedir.
        ↓     ↓
     2.3x   3²

x² - 8x + 16 = (x - 4)²  tam karedir.
        ↓     ↓
     2.4x   4²

x² + 10x + 25 = (x + 5)²  tam karedir.
        ↓        ↓
      2.5x     5²

x² + 12x + 36 = (x + 6)² tam karedir.
        ↓        ↓
      2.6x     6²

Örnek:
x² - 6x + k  ifadesi bir tam kare ise k nedir?

Çözüm:
x² -  6x   +  k  ifadesi bir tam kare ise
         ↓        ↓
       2.3x     3²
     iki katı     k = 3² = 9 olur.
    olmalı

Örnek:
x²  - 14x + m - 1   ifadesi bir tam kare ise m nedir?

Çözüm:
x² -  14x  - m - 1  ifadesi bir tam kare ise
         ↓          ↓
       2.7x      7²
                 m - 1 = 49
                      m = 50 olur.

Örnek:
9x²  + 12x + a   ifadesi bir tam kare ise a nedir?

Çözüm:
9x²  + 12x + a   ifadesi bir tam kare ise
  ↓          ↓     
(3x)²     2 . 2 . 3x
             ↓
formüldeki iki katı     a =  2² = 4 olur.

Örnek:
a² + b² = 10 
a . b = 3 ise  a + b = ?

Çözüm:
(a  + b)² = a² + 2ab + b²
(a  + b)² - 2ab = a² + b²  olur.
a² + b² = 10 
a . b = 3 verilenleri yerine koyarsak:
(a  + b)² - 2.3 = 10
(a  + b)² = 16
a  + b = 4 olur

Örnek:
a  + b = 5
a . b = 9 ise  a²  + b² = ?

Çözüm:
(a  + b)² - 2ab = a² + b²
5² - 2 .9 = a² + b²
 25 - 18 = a² + b²
          7 = a² + b²

Örnek:
a + b = 7
a²  + b² = 25  ise a . b = ?

Çözüm:
(a  + b)² = a² + 2ab + b²
     7²     = 25 . 2 . a . b
49 - 25 = 2.  a . b
       24 = 2. a . b
       12 = a . b

Örnek:
a + 1/a = 7 ise   a² + 1/a² = ?

Çözüm:
(a + 1/a)² = a² + 2 + 1²/a²
          7² = a² + 2 + 1/a²
     49 - 2 = a² + 1/a²
          47 = a² + 1/a²

Örnek:
a = 748
b = 739 iken
(a + b)² - 4ab = ?

Çözüm:
       (a - b)² = (a+b)² - 4ab
(748 - 739)² = (a+b)² - 4ab
               9² = (a+b)² - 4ab
               81 = (a+b)² - 4ab



Örnek:
x² - 12x + 40 ifadesinin en küçük değeri nedir?
             
Çözüm:
En küçük alabileceği değer isteniyorsa, İfade tam kareye benzetilir.
x² ≥ 0  bir tam karenin en küçük değeri sıfır olacağından
Bu denklemi tam kare şeklinde yazmalıyım.
x² - 12x + 40
↓        ↓   
x      2. 6x       
x           (x - 6)²  + 4      →   (40 - 6² = 4 olduğundan)
                 ↓
ifadesi sıfır olacağından ifadesinin en küçük değeri 4 olur.

Örnek:
x² + 10x + 21 ifadesinin en küçük değeri nedir?
             
Çözüm:
x² + 10x + 21
↓        ↓
x      2.5x  → ( x + 5 )² - 4
x              en küçük değer - 4 olur.

Örnek:
x² + y² - 6x + 14y + 100 ifadesinin en küçük değeri nedir?
             
Çözüm:
x² + y² - 6x + 14y + 100
ifadesinde x ve y ayrı düşünülür.
x² - 6x    ve   y² + 14y  şeklinde;
↓     ↓             ↓         ↓
x   2.3x           y       2. 7x
x                    y

(x - 3)² + (y + 7)² + 42
       ↓               ↓         ↓
3² =9       7² = 49
     49 + 9 = 58  ise  (100 - 58 = 42)
           ifadesinin en küçük değeri 42 olur.

Örnek:
x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0  ise x . y nedir?

Çözüm:
x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0
ifadesinde x ve y ayrı düşünülür.
x² + 6x     ve    y² - 4y
         ↓                     ↓
      2.3x                 2.2y
(x + 3)² + (y - 2)²  + 0 = 0
        ↓              ↓        ↓
        9             4   (9 + 4 = 13)

x + 3 = 0         ve  y - 2 = 0
      x = -3                  y = 2
x . y = -3 . 2 = - 6 olur.