Konu: Faktöriyel - Çözümlü Sorular

[D®agon]

ÖRNEK:
6 !
___ = ? işleminin sonucunu bulun.
4 !

ÇÖZÜM:
6. 5 . 4 !
_______ =  30   ( 4 ! 'ler sadeleşti)
    4 !

Örnek:
3 faktöriye + 2 faktöriyel işleminin sonucu kaçtır?


Örnek:
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?


Örnek:
İşleminin sonucu kaçtır?


ÖRNEK:
7 ! + 6 ! = ?

ÇÖZÜM:
7 ! + 6 ! =  7.6 ! + 6!   (ortak parenteze almak için)
             = 6 ! ( 7 + 1 )
             = 6 ! . 8 olur.

ÖRNEK:
7 ! + 6 ! - 5 ! = ?

ÇÖZÜM:
7 ! + 6 ! - 5 ! = 7. 6. 5 !  + 6! . 5 - 5 !
                    = 5 ! ( 42 + 5 - 1)
                    = 5 ! 47 

ÖRNEK:
6 ! - 4 !
_______ = ?
   4 !

ÇÖZÜM:
6 ! - 4 !         6 . 5 . 4 ! - 4 !        4 ! (30 - 1)
_______ =  ______________ = ____________ = 29
   4 !                      4 !                      4 !

ÖRNEK:
8 ! + 6!
_______ = ?
    7 !

ÇÖZÜM:
8 ! + 6!          8 . 7 . 6 ! + 6 !         6 ! ( 56 + 1)      57
_______ =   ______________ = ____________ = ____ olur.
    7 !                    7. 6 !                      6! . 7            7

ÖRNEK:
 3 . 10 ! + 9 !
___________ = ?
   9 ! - 8 !

ÇÖZÜM:
3 . 10 . 9 . 8 ! + 9 . 8 !     8 ! (  270 + 9 )        279   
_________________ =  _______________ = ______
     9. 8 ! - 8 !                    8 ! ( 9 - 1)              8

ÖRNEK:
       (n -2) ! + (n + 1) !
        _______________ = ?    işleminin sonucu nedir?
            n ! - (2 - n) !

ÇÖZÜM:
(n - 2) !  ve  (2 - n) ! ifadeleri bir doğal sayıyı belirtmelidir.
Birbirinin tersi olduğuna dikkat edin.
n - 2 = 0 için n= 2 olur.   ve    2 - n = 0 için n = 2 olur .               
n = 2 alırsam:
(n -2) ! + (n + 1) !      (2 - 2) ! +  (2 + 1)!           0 ! + 3 ! 
_______________ =     _____________       =  _________
   n ! - (2 - n) !                2 ! - (2 - 2) !                 2 ! - 0 !


1 + 3.2.1       7
________ = ___ = 7 olur.
   2.1 - 1        1

ÖRNEK:
   a !
______ = 56 ise a = ?
(a - 2) !


ÇÖZÜM:
 a ! sayısını küçük olan (a - 2) !  ifadesine kadar açmalıyız.
   a !           a . (a - 1) . (a - 2) !
______ = __________________  =  a . (a - 1)
(a - 2) !              (a - 2) !

a . (a - 1) = 56 dan   a = 8 olur.
↓       ↓
8  .   7

ÖRNEK:
(n - 3) !      (n + 1) !
_______ .  _________ = ?       ifadesinin sadeleştirilmiş biçimini bulunuz?
(n + 2 ) !      (n - 4) !

ÇÖZÜM:
(n - 3) !  →   (n - 4) !  birbirine daha yakın
(n + 1) ! →  (n + 2 ) !  bunlarda birbirine yakın.
Büyükten küçüğe doğru açıyorum.

(n - 3) !       (n + 1) !         (n - 3) . (n - 4) !         (n +1 )
_______ .   _________ =  ______________   .   ___________
(n + 2 ) !      (n - 4) !       ( n + 2 ) . (n +1) !       (n - 4) !   

Sadeletirmler yapılırsa son durum:   
    (n - 3)
= _______ olur.
    (n + 2)

ÖRNEK:
12 ! içinde en çok kaç tane 2 çarpanı vardır?

ÇÖZÜM:
Burada dikkat edilecek nokta: Aradığımız sayı asal sayı olmak zorunda.
Faktöryeli verilen sayıyı, aradığımız sayıya bölüyoruz.
12 ÷ 2 = 6
 6  ÷ 2 = 3
 3  ÷ 2  = 1 +  kalan 1
Bölümleri tek tek topluyorum:
6 + 3 + 1 = 10    →   n  en çok 10 olabilir.

ÖRNEK:
15 !
____  ifadesi bir tamsayıya eşit ise "n" en çok kaç olabilir?
 3 ⁿ

ÇÖZÜM:
Faktöryeli verilen sayıyı, aradığımız sayıya bölüyoruz.
15 ÷ 3 = 5
 5  ÷ 3 = 1 + 2 kalan
n en fazla: 5 +1 = 6 olur.

ÖRNEK:
40 ! = 5 ⁿ . A  ifadesinde A bir tamsayı ise "n" en çok kaç olabilir?

ÇÖZÜM:
Faktöryeli verilen sayıyı, aradığımız sayıya bölüyoruz.
40 ÷ 5 = 8
  8 ÷ 5 = 1 + 3 kalan
Bölümleri tek tek topluyorum:
n en fazla: 8 + 1 = 9 olur.

ÖRNEK:
60 ! = 6 ⁿ . A  ifadesinde A bir tamsayı ise "n" en çok kaç olabilir?

ÇÖZÜM:
İstenen sayı (6)  asal sayı olmadığıana dikkat edin.
6'yı Asal çarpanlarına ayırıyoruz.
2 . 3 = 6
Asal çarpanlardan daima büyük olan seçilir. 3
O halde 60 sayısını kalmayan kadar 3'e bölüyorum.
60 ÷ 3 = 20
20 ÷ 3 = 6 + 2 kalan  (kalana işlem yapmıyoruz)
  6 ÷ 3 = 2
Bölümleri tek tek topluyorum:
n en fazla 20 + 6 + 2 = 28 olur.

ÖRNEK:
38 ! = 15 ⁿ . A  ifadesinde A bir tamsayı ise "n" en çok kaç olabilir?

ÇÖZÜM:
İstenen sayı (15)  asal sayı olmadığıana dikkat edin.
15 !in çarpanları: 3, 5 olduğundan en büyük asal sayısı 5'i kullanıyorum.
38 ÷ 5 = 7 + kalan 3
 7  ÷ 5 = 1
Bölümleri tek tek topluyorum:
n en fazla: 7 + 1 = 8 olur.

ÖRNEK:
40 ! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

ÇÖZÜM:
Bir sayının sonunda sıfır varsa 10!un kuvvetleriye çarpışmış durumdadır.
Yani A. 10 ⁿ şeklindedir.
40 ! sayısında sıfır araken aynı zamanda 10 aramış oluyoruz.
10 asal sayı omadığından 10'u asal sayılarına ayırısak:  5 . 2
Büyük çarpan 5 sayısını kullanırız.
40 ÷ 5 = 8
  8 ÷ 5 = 1 + kalan
Bölümleri tek tek topluyorum:
8 + 1 = 9 tane sonda 0 vardır diyebiliriz.

ÖRNEK:
50 ! - 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 'dur?

ÇÖZÜM:
50 ! sayısında 9 araken aynı zamanda 10 aramış oluyorum.
10 asal sayı omadığından 10'u asal sayılarına ayırısak:  5 . 2
Büyük çarpan 5 sayısını kullanırız.
50 ÷ 5 = 10
10 ÷ 5 =  2
Bölümleri tek tek topluyorum:
10 + 2 = 12 tane sonda 9  var diyebiliriz.