Konu: YGS Matematik Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular

[sult@n]

[sult@n]

TANIM: Sıfırdan büyük olan +1, +2, +3, ... gibi sayılara pozitif tam sayılar denir.

Z+ ile gösterilir.

Z+ = {+1, +2, +3, +4,...}

TANIM: Sıfırdan küçük olan -1, -2, -3, ... gibi sayılara negatif tam sayılar denir. 
Z- ile gösterilir.

Z- = {...,-3, -2, -1}

TANIM: Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve "0"ın birleşerek oluşturduğu kümeye tam sayılar kümesi denir. Z ile gösterilir.

Z = Z- U {0} U Z+
Z = {...,-3, -2,-1,0, +1, +2, +3, ...} dir.

Tam  sayılar ‘Z’ harfi  ile  gösterilir:
     
SAYI  DOĞRUSU
Tam  sayıların  negatif sayılardan başlayarak  eşit  aralıklarla  işaretlendiği  doğruya  sayı doğrusu  denir
         Her tam sayı:
         ●Solundaki  sayıdan  büyük,
         ●Sağındaki  sayıdan  küçüktür



ARDIŞIK  SAYILAR

Kendisinden  önce  ve  sonra  gelen  sayılara  bir  kural  ile  bağlı  olan  sayılara   ardışık  sayılar  denir.

Ardışık tam  sayılar:  0,     1,      2,      3,     
             
Ardışık  çift tam  sayılar: 0,  2,   4,    6,   8,    10    ....

Ardışık  tek tam  sayılar:  1, 3, 5,  7 ...

İKİ TAM  SAYI  ARSINDAKİ  SAYILARIN  SAYISINI  BULMA

ÖRNEK 1: 5  ile 15  arasında  kaç tam  sayı  vardır?
ÇÖZÜM:  15-5=10  10-1=9 tane tam  sayı vardır

ÖRNEK 2: 305  ile  601 arasında  kaç tam  sayı vardır?
ÇÖZÜM:  601-305= 296  296-1=295 tane tam  sayı  vardır.

ÖRNEK 3: 447 ile  567  arasında  kaç tam sayı  vardır?
ÇÖZÜM : 567-447=120  120-1=119 tane tam  sayı  vardır

BASAMAK  DEĞERİ

Rakamların  sayıda  bulunduğu  basamağa  göre  aldığı  değere  basamak  değeri  denir.
   4  5  2  3          Basamak  değeri
  3 = 3.1
                                   20 = 2.10
                                 500 = 5.100
                               4000 = 4.1000
       Görüldüğü gibi rakamların  basamak  değeri,sayı değeri ile  bulunduğu  basamağın  çarpımına  eşittir.

Ek  Bilgi 
 *Bir  sayının
   Birler  basamağı 1 artar veya  eksilirse  sayı 1  artar  veya  eksilir.
   Onlar  basamağı  1  artar  veya  eksilirse  sayı  10  artar  veya  eksilir.
   Yüzler  basamağı  1  artar  veya  eksilirse  sayı  100  artar  veya  eksilir.

ÖRNEK 1: 3948  sayısında  9  rakamının  basamak  değeri  ile  sayı  değerinin  farkı  nedir?

ÇÖZÜM : 3948
Basamak  değeri : 900
 Sayı  değeri        :     9
 O  halde  fark    :  891

ÇİFT TAM SAYILAR

Birler  basamağında  0,2,4,6,8  rakamlarından  biri  bulunan  tam  sayılara  çift  tam  sayılar  denir.
       Çift  tam  sayılar  kümesi:
       Ç: 0,  2,   4,    6,   8,    10    ...

Ek  Bilgi     
 * sıfır  çift  tam  sayıdır.
 *Çift  tam  sayılar  iki  ile  kalansız  bölünürler.
 * n N ise , 2n  daima  çift   sayıdır

TEK  TAM  SAYILAR

Birler  basamağında  1,3,5,7,9  rakamlarından  biri  bulunan  tam  sayılara  tek  tam  sayılar  denir.
      Tek  tam  sayılar  kümesi:
      T: 1,3,5,7,9 ....

Ek  Bilgi
 *En  küçük  tek  tam  sayı  1’dir.
 *Tek  tam  sayılar  2  ile  bölündüğünde  1  kalanını  verir.
 *n N  ise, 2n+1  daima  tek  tam  sayıdır.

Ek   Bilgi

*Ç  +  Ç  =  Ç             *Ç  .  Ç  =  Ç
*Ç  +  T  =  T              *T  .  Ç  =  Ç
*T  +  T  =  Ç              *T  .  T  =  T

İKİ  TEK  TAM  SAYI  ARASINDA  KAÇ  TEK  TAM  SAYI  VARDIR?

ÖRNEK : 7 ile  29  tek tam  sayıları  arasında  kaç  tek  tam  sayı  vardır?
   
Uyarı

İki  sayı  arasındaki  farkın  yarısının  bir  eksiği  alınır.

(Büyük  sayı  -  Küçük sayı ) : 2 -  1
                 
ÇÖZÜM :
29 – 7 = 22    22 : 2 =  11
11 – 1 = 10

İKİ  ÇİFT  TAM  SAYI  ARASINDA  KAÇ  ÇİFT  TAM  SAYI  VARDIR?

ÖRNEK : 8  ile  40  tam sayıları  arasında  kaç  tam  sayı  vardır?                 
   
Uyarı
İki  sayı  arasındaki  farkın  yarısının  bir  eksiği  alınır.

(Büyük  sayı  -  Küçük sayı) : 2 - 1       

ÇÖZÜM : 40 – 8 = 32  32 : 2  =  16
16 – 1 = 15

ONLUK  SİSTEMDE  ÇÖZÜMLEME

Bir tam  sayının  rakamlarının  basamak  değerlerinin  toplanması  şeklinde  yazılmasına çözümleme  denir.

ÖRNEK:567 sayısını  çözümleyiniz.

ÇÖZÜM:
567=(5.100)+(6.10)+(7.1)

2.Yol :
567=(5.102)+(6.101)+(7.100) 

[sult@n]

a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

Kısacası bir sayıyı kesir şeklinde yazabiliyorsak rasyonel sayıdır.
Rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir.

Rasyonel Sayılar (Q) :   Q =  { 6/1, 8/3, -1/2, 5, 0.5  vb.}

Her doğal sayı ve tam sayı, paydasına 1 yazılarak Rasyonel Sayı haline getirilebilir.

-4, -4/1 gibi...






Paydası 10 ve 10'un katları şeklinde yazılamayan Rasyonel sayıların ondalık açılımlarının kesir kısımlarında tekrar eden rakamlar bulunur. Bu tür ondalık kesirler "Devirli  Ondalık kesirler" olarak adlandırılır.

[sult@n]

Paydası 10 ve 10'un katları şeklinde yazılamayan Rasyonel sayıların ondalık açılımlarının kesir kısımlarında tekrar eden rakamlar bulunur. Bu tür ondalık kesirler "Devirli  Ondalık kesirler" olarak adlandırılır.

[sult@n]

Verilen sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma işlemi denir.













KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI

Karekök içindeki sayı karesel olarak yazılabilen bir sayı ise bu sayı karekök dışına çıkarılabilir. Karekök içindeki üslü sayı var ise; üssün yarısını alarak karekök dışına çıkarabilirsiniz.



Karekök içindeki sayıları kök dışına çıkarırken daha hızlı işlem yapabilmek için 1'den 20 ye kadar olan sayıların karesini ezbere bilmenizde fayda var. Böylece hem üslü sayılar konusunda hem de kareköklü sayılar konusundaki işlemleri çok daha hızlı bir şekilde çözebilirsiniz.

Aşağıda 400'e kadar ki sayılar arasından karekök dışına çıkabilen sayıları yazdım.
Çokça soru çözdüğünüzde de zaten ister istemez ezberlemiş olacaksınız.



KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI

Kareköklü bir sayının kat sayısını kök içine almak için; kat sayının karesini alarak kök içindeki sayı ile çarpar ve kök içinde yazarız.



Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü üzere, karekök dışındaki bir sayıyı karekök içinde almak için tek yapmamız gereken; Karekök dışındaki sayının karesini alarak, karekök içindeki sayı ile çarpmak ve sonucu karekök içinde yazmaktır.

RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ

Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. Yani, payın karekökünü bulup paya, paydanın karekökünü bulup paydaya yazarız.

Tam sayılı kesirleri ise öncelikle bileşik kesre çevirip daha sonra kareköklerini buluruz.



KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMA

Kareköklü bir sayıyı a kök b biçiminde yazma işlemini iki farklı yoldan yapabilirsiniz.

» Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Karesel olarak yazılan sayı karekök dışına çıkarılır.

Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarabilirsiniz.



Her iki çözüm yolu da aynı kapıya çıkıyor aslında ama bazen doğru çarpanları bulamayacağımız büyük bir sayı ile karşılaşabiliriz. O zaman asal çarpanlarına ayırarak karekök dışına çıkarma yolunu tercih ederiz.



KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken; Verilen kareköklü ifadelerin karekök dışına yaklaşık olarak kaç çıktığını bularak da yapabiliriz ama ben size daha pratik ve güvenilir olan yoldan sıralama yapmanızı öneririm. Şöyle ki;

Verilen kareköklü ifadelerde karekök dışında bir sayı var ise bu sayıyı karekök içine alınız. Hepsini kök içine aldığınızda sayısal değeri büyük olan sayı daha büyük olacaktır. Aynı doğal sayılarda yaptığınız sıralama işlemi gibi yani. Ama büyün sayıların karekök içinde olması gerekiyor. Soruda verilen sayıların hepsi zaten karekök içinde ise o zaman sayısal değeri büyük olan daha büyüktür diyebilirsiniz. Örnekleri incelediğinizde daha iyi kavrayacaksınız.



KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kökler içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Eğer aynı değil ise önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır.

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise; katsayılar toplanır ve kat sayı olarak yazılır. Daha Sonra ortak kök kat sayının sağına çarpım durumunda yazılır.



Kareköklerin içindeki sayılar farklı ise; Önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır, daha sonra kat sayılar arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılır.





KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içinde verilen sayılar çarpılıp, sonucu kök içine yazılır. En son olarak kök dışına çıkabilen sayı varsa çarpan olarak kök dışına çıkarılır.



Kareköklü Bir Sayının Karesini Alma

Kareköklü bir sayının karesini aldığınızda, kök kalkar. Kareköklü sayının katsayısı var ise, katsayının karesi alınır.



KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken; Kat sayılar bölünüp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içindeki sayılar bölünerek sonucu kök içine yazılır. Son olarak sadeleştirmeler yapılıp kök dışına çıkabilen sayı varsa kök dışına çarpan olarak çıkarılır.



ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜ

Ondalık kesirlerin karekökü iki farklı yoldan bulunabilir. Hangi yol daha kolayınıza gelirse soruları o yoldan çözebilirsiniz.

1.Yol : Verilen ondalıklı kesir, rasyonel sayı biçiminde yazılarak karekökleri alınabilir. Örnekleri inceleyiniz.



2.Yol : Ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları çift ise, tam kare kökleri alınabilir. İlk önce virgül yokmuş gibi sayı karekök dışına çıkarılır. Daha sonra, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayırırız.