Konu: YGS Matematik Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular

[sult@n]

Sayma için bilinen 3 farklı metot vardır:

i.  Eşleme yoluyla sayma
ii. Toplama yoluyla sayma
iii. Çarpma yoluyla sayma

Eşleme yoluyla sayma
-  Bir sınıftaki öğrenci sayısını,
-  Bir apartmanın kaç katlı olduğunu,
-  Bir pakette kaç sigara bulunduğunu,
Sonlu bir kümenin eleman sayısını filan belirlemek için söz konusu elemanları
sayma sayıları ile birebir eşlemeye eşleme yolu ile sayma denir.

Örneğin,
kitabın ilk sayfasına ‘’1’’, ikinci sayfasına ‘’2’’, üçüncü sayfasına ‘’3’’, ... gibi isim vererek,
o kitapta kaç sayfa olduğunu bulabiliriz.
Zaten başka yolu da yoktur. Bu işlem en temel sayma işlemidir.
Ama bu her zaman geçerli bir yol değildir. Aslında geçerlidir de elverişli değildir desek daha doğru olur.
Yüz kenarlı  bir çokgenin tüm köşegenlerinin kaç adet olduğu sorulsa mesela n’apacaksın?
Diyelim inat ettin, yüzgeni çizdin, tüm köşegenlerini de çizip bismillah deyip saymaya başladın Ya yüzgen değil, bingen olsa veya milyongen?

Rakamları yazıp okuyamayan çobanlar, koyunlarının eksik olup olmadığını
"Birebir Eşleme Metodu" ile kontrol ediyorlardı.
Ceplerine doldurdukları bir miktar çakıl taşını kullanarak.
Her bir koyunu ağıldan dışarı çıkarırken cebine bir çakıl taşı koyup,
akşam döndüğündede ağıla giren her koyun için bir çakıl taşınnı çıkarıyordu.
Bu örnekte çoban koyunlarını saymıyor, bire bir eşleme ile
eksilme veya artmanın olup olmadığını kontrol ediyor.

Matematikçiler çakıl taşları yerine sayma sayılarını geliştirmişler ve ceplerindeki
çakıl taşlarından kurtulmuşlardır.

Toplama Yoluyla Sayma.
A ve B ayrık iki küme olsun, yani kesişimleri boş küme olsun.
A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu bulmak için
A ∪ B  kümesinin elemanlarını saymalıyız, ki o da s(A) + s(B)’dir.

Örneğin,
bir sınıftaki öğrenci sayısını eşleme yoluyla tek tek sayabileceğimiz gibi, eğer biliniyorsa sınıftaki kız öğrenciler kümesinin eleman sayısı ile sınıftaki erkek öğrencilerin eleman sayılarını toplayarak da sonuca ula
şabiliriz.
Örneğin, bu sınıfta 22 kız öğrenci ve 23 erkek öğrenci varsa,
bu sınıfta 22 + 23 = 45 öğrenci vardır deriz.
İşte buna toplama yoluyla sayma işlemi denir.


Çarpma yoluyla sayma





















Matematikçiler ikiye ayrılır:
Sayı saymayı bilenler, ve sayı sayı saymayı bilmeyenler.


Örneğin, bu sınıfta 22 kız öğrenci ve 23 erkek öğrenci varsa,
bu sınıfta 22 + 23 = 45 öğrenci vardır deriz.
İşte buna toplama yoluyla sayma işlemi denir.

[sult@n]

İyi tanımlanmış nesnelerin oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeyi oluşturan her bir nesneye kümenin elemanı denir. Kümeler A, B, C, D … gibi büyük harflerle gösterilir. Kümenin elemanları a, b, c, d gibi küçük harflerle, sayılarla ya da sembolerle gösterilir.


Kümelerin Gösterilişi
1. Liste Yöntemi

{ } parantezi içine elemanlar virgül ile ayrılarak yazılır.

2. Venn şeması Yöntemi

Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içinde yazılarak gösterilmesidir. Elemanlar yazılırken her biri bir noktanın yanında isimlendirilir.

3.Ortak Özellik Yöntemi

Ortak bir özellik bulunduran elemanların, bu özellik belirtilerek ifade edilmesi yöntemidir.

Örnek:
15 ten küçük asal sayıların kümesini liste yöntemi, Venn şeması yöntemi ve ortak özellik yöntemi ile
gösteriniz.

Çözüm:

Eşit Kumeler

Aynı elemanlardan meydana gelen kumelere eşit kumeler denir. A = {a, b, c, d} ve B = {d, b, a, c} kumeleri aynı elemanlardan meydana geldiği icin A ve B kumeleri eşit kumelerdir. A = B şeklinde gosterilir.

Denk Kumeler

Eleman sayıları eşit olan iki kumeye denk kumeler denir.
A = {x, y, z} ve B = {a, b, c} kumeleri denk kumelerdir.
şeklinde gosterilir.

Sonlu ve Sonsuz Kumeler

Bir kumenin eleman sayısı sonlu ise kumeye sonlu kume adı verilir. Bir kumenin eleman sayısı sonlu değilse kumeye sonsuz kume adı verilir.


Boş Küme:
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.


Alt Küme:



Önemli
1) Her küme, kendisinin alt kümesidir.
2) Boş küme, her kümenin alt kümesidir.

Örnek:     Z = {a, b, c}'nin alt kümeleri :

                   0 elemanlı : Boş küme

                   1 elemanlı : {a} , {b} , {c}

                   2 elemanlı : {a, b} , {b, c} , {a, c}

                   3 elemanlı : {a, b, c}





Örnek:
Alt küme sayısı 512 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm:



Öz alt küme:
Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine özalt kümeleri denir.

 A = {1, 3, 5} kümesinin öz alt kümelerini yazalım:
Æ , {1} , {3} , {5} , {1, 3} , {1, 5} , {3, 5} ® 7 tanedir.

Örnek:
4 elemanlı bir kümenin özalt küme sayısını bulalım.

Tüm alt kümelerinin sayısı = 2.2.2.2 = 16
Öz alt kümelerinin sayısı = 16 – 1 = 15 tanedir.

Özalt küme sayısını bulma:
Alt küme sayısı – 1 formülü ile bulunur.

Örnek:
63 tane özalt kümesi olan küme kaç elemanlı olduğunu bulalım.

63 + 1 = 64 tane alt kümesi vardır.

64    2
32    2
16    2
8      2
4      2
2      2
1
   +______
        6 elemanlıdır






A ve B aynı evrensel kümeye ait iki küme olsun. A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B veya A \ B şeklinde gösterilir.

[sult@n]

Bir sayı dizisindeki verilerin toplamının, veri sayısına bölümüne
bu sayı dizisinin aritmetik ortalaması denir.

-- Aritmetik ortalama bir merkezi eğilim ölçüsüdür.



Bir dizide en çok tekrar eden sayıya o diznin modu (tepe değeri) denir.





Sıralanmış verilen bir sayı dizisindeki sayıların ortadakine,
bu sayıların medyanı (ortancası) denir.

-- Dizinin terim sayısı tek ise, medyan ortadaki sayıdır.
-- Dizinin terim sayısı çift ise, ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır.
-- Medyan (Ortanca) merkezi eğilim ölçüsüdür.



bir sayı dizisindeki en büyük sayı ile en küçü sayı arasındaki farka açıklık denir.

-- Açıklık, merkezi yayılma ölçüsüdür.

Açıklık = En büyük sayı - En küçük sayı



Çeyrekler açıklığı bulunurken verilerin medyanı (ortancası) bulunur.
Medyan verileri iki eşit gruba ayrılır.
ilk grubun medyanına alt çeyrek, ikinci grubun medyanına üst çeyrek denir.
bir veri grubundaki üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka çeyrekler açıklığı denir.

Çeyrekler Açıklığı = Üst çeyrek - Alt çeyrek





Bir konuda seçim yaparken ( birkaç üründen birini satmak için seçerken... vb.)  daha önceki verilere bakıp sonuçların iyi olması için risk analizini iy yapmak gerekir.

Bir dizi ölçümünde, dizinin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır.
Grubu oluşturan verilerin ortalamaya göre sağa veya sola ne kadar saptığını yaklaşık bir ifadeyle bulmaya yarar.



Risk analizi Standart Sapma kullanılarak yapılır.

Standart sapması küçük olan durumlarda sapma ve risk az olur.
Standart sapması büyük olan durumlarda sapma ve risk fazla olur.

Aritemtik ortalamaları birbirine yakın yada eşit olan iki veri grubundaki çok büyük veya çok küçük değerler verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda verilerin açıklığına ve çeyrekler açıklığına bakılır.

Bazı durumlarda bunlar tam bilgi vermeyebilir. Bu durumlarda merkezi yayılma ölçüsü olarak Sandart Sapma kullanılır.

 



Verilerin, veri grubunun aritmetik ortalamadan farklarının standart sapma cinsinden hesaplanmasına standart puan denir.
Standart puanlar Z ve T puanları olmak üzere iki türlüdür.

Z puanı = (Dönüştürülecek Puan – Aritmetik Ortalama) / Standart Sapma = (x – konu_istatistik_1) / s

T puanı = 10.(Z puanı) + 50 dir.

" En güzel çığlık “başardım” çığlığıdır. "

[sult@n]

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler



Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler




Bilinmeyen her değeri için doğru olan yani çözüm kümesi R (Gerçek Sayılar) olan açık eşitliklere ÖZDEŞLİK denir.



Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için, denklemler ise bazı gerçek sayı veya sayılar için doğrudur.

                            3x – 6 = 3(x – 2)  Eşitliği x in her değeri için doğrudur.

x=1 için   3.1 – 6 = 3(1-2)
                                 -3 = -3

x=2 için   3.2 – 6 = 3(2-2)
                                   0 = 0

x=-3 için    3.(-3) – 6 = 3(-3-2)
                                      -15 = -15

Sonuç olarak;
İki harfli ifadelerin her değeri için birbirine eşitse bu ifadeler ÖZDEŞ ifadeler denir.
Özdeş ifadeler birbirine eşit olarak yazılır. Birbirinin yerine kullanılabilir.

x.x + x = x(x+1)

Özdeşliklerin çözüm kümesi reel(gerçek) sayılardır. Özdeşlikler her reel sayı için doğrudur.



x - 2 = 3 eşitliği yalnız x = 5 değeri için;

x . x = 16 eşitliği yalnız x = 4 veya x = - 4 değerleri için sağlanırken;

x . x - 2 . x = x ( x - 2 ) eşitliği x'in tüm gerçek sayı değerleri için sağlanır.

TAM KARE İFADELER

[sult@n]

a ve b gerçel sayı ve i, -l’in kare kökü olmak üzere a+ib şeklinde yazılabilen sayılar.
Burada a, karmaşık sayının gerçel kısmını ve b sanal kısmını teşkil eder. tarihi negatif sayıların bulunmasından sonra, matematikçiler karesi negatif sayı olan sayıyı aradılar.

ilk matematikçiler böyle bir sayının mevcut olmadığı sonucuna vardılar. 1637’de René Descartes bu tür sayıların varlığına dikkati çekmiştir. 1777’de Leonhard Euler günümüzdeki i sayısını sembol olarak kullanmıştır.

Karmaşık sözü ilk defa Gauss tarafından verilmiştir. elektrik ve mağnetizmanın matematiksel ifadesinde karmaşık sayılar çok önemli rol oynamaktadır.

a+ib ve c+id olarak verilen iki karmaşık sayının gerçel ve sanal parçaları ayrı ayrı birbirine eşitse,
yani a= c ve b= D ise, bu sayılar birbirlerine eşit olurlar.
Bu sayıların dört işlemi aşağıdaki gibi tarif edilmiştir

    (a+ib) + (c+id)= (a+c) + i (b+d)
    (a+ib) – (c+id)= (a-c) + i (b-d)
    (a+ib) (c+id) = (ac-bd) + i (ad+bc)
    a+ib ac+bd bc-ad
    … = … +i …
    c+id c2+d2 c2+d2

Bu özellikler i2= –1 kabul edilerek doğrudan doğruya çıkarılabilir.
Karmaşık sayıların dört işlemi, gerçel sayılarınkinin genelleştirilmesinden ibarettir.
Bir farkları, büyüklüklerine göre sıraya konulamazlar.

– Bir z = x + iy karmaşık sayısının, karmaşık eşleniği z = x – iy olarak tarif edilir.
Karmaşık sayının mutlak değeri veya modulü

olarak tarif edilir.

Karmaşık sayılar gerçel parçası yatay eksen üzerinde, sanal parçası düşey eksen üzerinde olmak üzere dik koordinat takımını kullanarak düzlemde gösterilebilir. Bu düzleme karmaşık düzlem denir. Böylece her sayı, düzlemde bir noktaya karşı getirilir. Karmaşık sayılar, dolayısıyla bu düzlem üzerindeki noktalar, kutupsal koordinatlar kullanılarak da gösterilebilir.

Noktanın başlangıç noktasına olan mesafesi r ve
bu doğrunun x ekseni ile yaptığı açı ile gösterilirse z= x + iy şeklindeki bir karmaşık sayı z = r (cos.+i (sin.) olarak da yazılabilir.

1748’de Leonhard Euler’e dayanan diğer bir gösterim de z = rei. şeklindedir.

Bir gösterim ile bir karmaşık sayının kuvveti zn= (rei.)n= rnein.= rn (cosn.+i sin n.) olarak kolayca belirlenir.
n, mertebe kökü ise k= 0,1,2,…, n-1 olmak üzere

    cos .+2k..+2k.
    Zl/n= rl/n ….. + i sin ….n n

şeklinde belirlenir.