Ortak Kat a ve b sıfırdan farklı tam sayılar olsun. Eğer a ve b tam sayıları c yi tam bölüyorsa c sayısına a ve b nin bir ortak katı denir.
12, 36, 54, 102 sayıları 2 ve 3 ün birer ortak katıdır.
En Küçük Ortak Kat (EKOK)a ve b sıfırdan farklı tam sayılar olsun. a ve b nin pozitif ortak katlarının en küçüğüne a ve b nin en küçük ortak katı denir. EKOK(a,b) ile gösterilir.
Not:1 den büyük iki yada daha çok doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak olan asal çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayan çarpanların tümü çarpılır.
Not: a ve b aralarında asal iki sayı olmak üzere;
EKOK(a,b)=a.b ve EBOB(a,b)=1 dir.
Not:İki sayının EBOB u ile EKOK unun çarpımı o sayıların çarpımına eşittir.
EBOB(a,b)=m ve EKOK(a,b)=n ise
a.b = m.n dir.
Not: x, y ve z en az biri sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere;
EKOK(x,y,z)= EKOK(EKOK(x,y),z)
EBOB(x,y,z)= EBOB(EBOB(x,y),z)
EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR: 1) Cevizler,fındıklar,şekerler,bilyeler sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa
2) Gemiler,arabalar,yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa veya kaç gün sonra,kaç yıl sonra karşılaşırlar
3) Sınıfta öğrenciler sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa
4) Saat sorularında bir daha ne zaman birlikte çalarlar
5) Küçük tuğlalardan küp yada ev yapılıyorsa
Ortak Bölen x, y ve z birer tam sayı olmak üzere z sayısı hem x hem de y sayılarını tam (kalansız) bölüyorsa z sayısına x ve y sayılarının ortak böleni denir.
Örnek:36 ve 45 sayılarının pozitif ortak bölenlerini bulalım.
Çözüm:
36 nın pozitif bölenleri;
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
45 in ortak bölenleri;
1, 3, 5, 9, 15, 45
36 ve 45 i ortak bölen sayılar;
1, 3, 9 olur.
56 ve 42 sayılarının pozitif ortak bölenlerini bulalım.
Çözüm:
56 nın pozitif bölenleri; 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
42 nin ortak bölenleri; 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
56 ve 42 yi ortak bölen sayılar; 1, 2, 7, 14 olur.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) a ve b en az biri sıfırdandan farklı iki tam sayı olsun. a ve b nin ortak bölenlerinin en büyüğüne a ile bnin en büyük ortak böleni denir.
EBOB (a,b) ile gösterilir.
a ve b tam sayılarının ortak asal çarpanı yoksa EBOB 1 dir.
Başka bir ifadeyle EBOB (a,b) = 1 ise a ve b sayıları aralarında asaldır.
Verilen iki sayının en büyük ortak böleni bu iki sayının toplamını, farkını ve çarpımını da tam böler.
Not:iki ya da daha fazla tam sayının EBOB'u bulunurken verilen sayılar önce asal çarpanlarına ayrılır sonra ortak olan asal çarpanların en küçük üslüleri alınıp çarpılır. Elde edilen sayı verilen sayıların EBOB'u olur.
SORU 1:Ayrıtları 6,8 ve 10cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan, bir küp yapılmak isteniyor.
Bunun için en az kaç tuğla kullanılmıştır ?
ÇÖZÜM 1:Öncelikle şunu anlatalım burada parçaları birleştirip bir bütün oluşturmak var.
Yani Bu durumda ekok kullanacağız.
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 6, 8 ve 10cm verilmiş. Bu dikdörtgenler prizmasından bir miktar kullanarak bunlardan küp oluşturmamız isteniyor.
Küpün bütün ayrıtlarının uzunluklarının eşit olduğunu biliyoruz.
Bu durumda Küpün bir ayrıtının uzunluğu 6,8 ve 10 sayısının bir katı olmalıdır.
ekok (6,8,10)=120 dir.
Demek ki küpün bir ayrıtının uzunluğu 120'ymiş.
Kullanılan Tuğla Sayısı = Küpün Hacmi / dörtgenler Prizmasının Hacmi
= 120.120.120 / 6.8.10 = 3600 bulunur.
SORU 2:Boyutlarının uzunlukları 60,80 ve 100 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depoya en büyük ve eşit hacimde kaç tane küp şeklindeki kutu boşluk kalmayacak şekilde yerleştirilir?
ÇÖZÜM 2:En büyük hacimli küpün istenen şartlarda sağlanması için bir ayrıtı mümkün olduğunca büyük seçeriz. (Yani bütünü parçalıyoruz)
ebob (60,80,100)=20 olduğundan.
Kutu Sayısı = Depo Hacmi / Bir Küpün Hacmi
= 60.80.100 / 20.20.20 = 60
SORU 3:Kısa kenarı 8cm uzun kenarı 20cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıda eşit alanlı kareler çizilecektir. Bu çizim işi için en az kaç kare gerekir?
ÇÖZÜM 3:Karelerin sayısının en az olması istendiği için karenin bir kenarı mümkün olduğunca büyük olmalıdır. Bunun için karenin bir kenarı 8 ve 20 sayılarını bölen en büyük sayı olmalıdır.
Yani ebob kullanacağız. Bunu anlamanın bir başka yolu ise yukarıda iki yıldız şeklinde vermiş olduğum püf noktalardır. Bu soruda Bir bütünü karelerle parçalara ayırıyoruz ebob kullanırız.
Ebob (8,20) = 4 olacaktır.
Yani karenin bir kenarı 4cm olacaktır.
Kare Sayısı= Kağıdın alanı / Bir karenin alanı
= 8.20 / 4.4 = 10 bulunur.
SORU 4:Ayrıtlarının uzunlukları 2m,4m ve 6m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir deponun içerisine depoyu tamamen dolduracak biçimde küp şeklinde en az kaç tane özdeş kutu yerleştirebiliriz ?
ÇÖZÜM 4:Bizden en az sayıda küp olması istenmişse küpün bir ayrıtı 2,4 ve 6 sayılarını bölen en büyük sayı olmalıdır.
Ya da başka bir değişle dikdörtgenler prizmasını küçük küplere bölüyoruz. Yani bütünü parçalıyoruz ebob kullanırız.
Bir küpün ayrıtı ebob (2,4,6) = 2 bulunur.
Küp sayısı= Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi / Küpün Hacmi
= 2.4.6 / 2.2.2
= 6 bulunur.
SORU 5:Boyutları 9cm,15cm ve 30cm olan dikdörtgenler prizması şeklinde taşlarla, en küçük boyutta olan içi dolu bir küp oluşturmak isteniyor. Bu iş için kaç tane taş gerekir ?
ÇÖZÜM 5:Oluşacak küpün ayrıtının en kısa olması için bir kenarı mümkün olduğunca küçük olmalıdır. Başka bir ifade biz parçalardan bütün oluşturmak istiyoruz o zaman bizim işimiz ekokla.
eko k(9,15,30)=90 bulunur. Küpün Bir ayrıtı 90 cm dir.
Tuğla Sayısı = Küpün Hacmi / Tuğlanın hacmi
= 90.90.90 / 9.15.30
=180 bulunur.
SORU 6:Bir merdivenin basamakları, ikişer ikişer,üçer üçer ve dörder dörder çıkıldığında daima 1 basamak artıyor.
Buna göre, bu merdiven en az kaç basamaklıdır ?
ÇÖZÜM 6:*Merdivenin basamaklarını 2'şer 2'şer çıktığımızda 1 basamak artıyorsa Basamak Sayısı
2'nin katından 1 fazladır bunu 2a+1 şeklinde ifade edelim.
*Merdivenin basamaklarını 3'er 3'er çıktığımızda yine 1 basamak artıyormuş Basamak sayısı 3'ün katından da 1 fazladır. Bunu da 3b+1 şeklinde ifade edelim.
*Merdivenin basamaklarını bu kez 4'er 4'er çıktığımızda 1 basamak artıyor. Basamak sayısı 4c+1 olur.
Bu üç yıldızın ortak noktası basamak sayısını vermeleri.
Basamak Sayısı=2a+1=3b+1=4c+1 olur. Her taraftan 1 çıkardığımızda eşitlik bozulmaz
(Basamak sayısına x diyelim)
x-1=2a=3b=4c Bu şu demektir. Basamak sayısının 1 eksiği hem 2'nin hem 3'ün hem 4'ün bir katıdır. Bizden en az kaç basamaklı olduğunu soruyor. Bunu matematik dilinde ekok(2,3,4) olarak ifade edebiliriz.
x-1=ekok (2,3,4)=12
x-1=12 ise x=13 bulunur.
SORU 7:Ali bir torbadaki şekerleri 2'şer 2'şer,3'er 3'er ve 4'er 4'er saydığında her defasında 1 şekeri artıyor. Şeker sayısının 30'dan fazla bilindiğine göre, torbada en az kaç şeker vardır ?
ÇÖZÜM 7:Bir üsteki soruya çok benziyor. Fakat buradaki şarta dikkat etmeliyiz. Şeker sayısının 30'dan fazla olduğunu söylemiş.
Şeker Sayısı=x diyelim
x=2a+1=3b+1=4c+1
x-1=ekok(2,3,4) olacaktır. Fakat ekok: en küçük ortak kat olduğundan 12 değilde 36 alabiliriz. Çünkü 30 dan fazla olma şartı var.
x-1=36
x=37 bulunur.
SORU 8:Ali cevizlerini 4'er 4'er saydığında 1 cevizi eksik kalıyor, 6'şar 3'şar saydığında 3 ceviz artıyor. Ve 5'er 5'er saydığında ise 8 ceviz artıyor. Buna göre En az kaç cevizi vardır ?
ÇÖZÜM 8:Alinin cevizleri x olsun.
x=4k-1=6t+3=5n+8 olur her taraftan 3 çıkarırsak
x=4k-4=6t=5n+5 olur
x-3=4(k-1)=6t=5(n+1) olduğundan
x-3=ekok(4,6,5)=60 olur.
x=63 bulunur.
SORU 9:Üç saatten I.si 40 dakikada bir, II.si 60 dakikada bir,III.sü 120 dakikada bir sinyal veriyor.
İlk kez üçü birlikte saat 14:00 da sinyal verdiklerine göre, bu üç saat ikinci kez birlikte sinyal verdiğinde saat kaç olur ?
ÇÖZÜM 10:Bu saatlerin kaç dakikada aynı anda sinyal verdiklerini bulalım. Hepsinin ekokunu almamız. yeterli olacaktır. Çünkü üçünün de en küçük ortak katı bunu ifade eder.
Bu saatler ekok(40,60,120)=120 dakikada bir aynı anda çalarlar.
İlk kez 14:00 ise120 dakika yani 2 saat sonra 16:00 da sinyal vereceklerdir.
SORU 11:12,18 ve 36 litrelik üç şişe süt doludur. Şişelerdeki sütler birbirine karıştırılmadan hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurulaaktır.
En az sayıda şişenin kullanılması istendiğine göre, şişelerden biri kaç litreliktir ?
ÇÖZÜM 11:Bulacağımız şişenin ölçüsü 12,18 ve 36'yı aynı anda bölen sayıların en büyüğü olacaktır.
ebob (12,18,36)=6 ise bir şişe 6 litreliktir.
SORU 12:180 kg pirinç ,240 kg nohut, 280 kg buğday hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki torbalara karıştırılmadan konulacaktır. Bu iş için en az kaç torba gerekir ?
ÇÖZÜM 12:Bu sayıları ortak bölen en büyük sayı ebob(180,240,280)=20 bulunur. Demek ki Bir torba 20 kglıktır.
180kg lık princi 20kglık torbalara bölersek 9 tane torba kullanırız.
240 nohutu 20kg lık torbaya bölersek 12 tane kullanırız.
280 kg buğdayı 20kglık torbaya bölerek 14 tane kullanırız.
Toplamda 9+12+14=35 tane torba kullanırız.
SORU 13:Üç koşucu dairesel bir pisti sırasıyla 30,45 ve 50 saniyede koşmaktadır.
Aynı anda aynı yerden koşmaya başlayan üç koşucu koşmaya başladıktan sonraki 3. karşılaşmaları kaç saniye sonra gerçekleşir?
ÇÖZÜM 13:İlk karşılamalarına kadar geçen süre A olsun ve bu sürede, atletler x,y,z defa tur atmış olsun.
A=30x=45y=50z
A=ekok(30,45,50)
A=450 bulunur. Bu 1. karşılaşmaya kadar geçen süredir
Bize 3. karşılaşmaya kadar geçen süre sorulduğundan 3.450=1350 saniyedir.
SORU 14:10 ile bölündüğünde 4, 12 ile bölündüğünde 6 ve 22 ile bölündüğünde 16 kalanını veren en küçük sayı kaçtır ?
ÇÖZÜM 14:istenen sayı x ise,
4+6=10
6+6=12
16+6=22
ise x+6 sayısı 10,12 ve 22 sayılarının ortak katıdır.
x+6=ekok(10,12,22)
x+6=660
x=554 bulunur.
SORU 15:Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton, hiç parça artmayacak şekilde karelere bölünmek isteniyor. En az kaç kare elde edilebilir ?
ÇÖZÜM 15Bu soruda dikkat edilmesi gereken nokta şudur. Soruda eş kare diye bir ibare kullanmadığı için şu şekilde çözeriz.
Dikdörtgenin kısa kenarı 12cm olduğundan boyu 12cm Eni 12cm şeklinde kare bir şekil oluştururuz.
Geriye kısa kenarı 6cm ve uzun kenarı 12cm olan dikdörgen kalır. Bunu da Bir kenarı 6cm olan iki kareye ayırdığımızda en az 3 kare elde ederiz.
SORU: 1630, 45, 60 sayılarının e.b.o.b’ u kaçtır?
ÇÖZÜM 16:Verilen sayıların en büyük ortak bölenleri EBOB= 3 x 5 = 15 tir.
SORU: 17:40, 120, 180 sayılarının e.k.o.k’ u kaçtır?
ÇÖZÜM 16:Ekok bulunurken bütün asal çarpanları çarpıyoruz.
EKOK: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360
SORU 18:16 m, 24 m, 32 m uzunluğunda üç parça kumaş eşit ve en büyük parçalara ayrılmak isteniyor. Kaç parça kumaş elde edilir?
ÇÖZÜM 18:Kumaşlar en büyük parçalara ayrılacağından verilen uzunlukların ebob' unu bulmalıyız.
cevap 2 EBOB(16, 24, 32) = 2 x 2 x 2 = 8 dir.
En büyük parçalı kumaşımız 8m olabilirmiş. Şimdi de kaç parça kumaş elde edileceğini bulalım.
Birinci kumaştan 16 / 8 = 2 parça
İkinci kumaştan 24 / 8 = 3 parça
Üçüncü kumaştan 32 / 8 = 4 parça kumaş elde edilir.
Toplamda 2 + 3 + 4 = 9 parça kumaş elde edilir.
SORU 19:İki sayının EBOB’ u 6, EKOK’ u 240’ tır. Sayılardan biri 48 ise diğer sayı kaçtır?
ÇÖZÜM 19:İki sayının EBOB' u ile EKOK' unun çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir. Bu nedenle ebob ve ekok çarpımını bu sayılardan birine böldüğümüzde diğer sayıyı buluruz.
240 x 6 = 1440
1440 / 48 = 30. Diğer sayı 30 olmalıdır.
SORU: 20Aynı anda aynı yerden hareket eden üç gemiden birincisi 5 gün, ikincisi 7 gün, üçüncüsü 9 günde bir sefere çıkıyor. Bu gemiler kaç gün sonra hep birlikte sefere çıkarlar?
ÇÖZÜM 20:Bu üç geminin ilk kez kaç gün sonra karşılaşacağını bulmak için 5, 7 ve 9'un Ekok' unu bulmalıyız.
Bu üç sayı aralarında asal sayılar olduğu için birbiri ile çarparakta en küçük ortak katlarını hesaplayabiliriz.
Ekok(5, 7, 9) = 315
Bu üç gemi 315 gün sonra karşılaşarak hep birlikte sefere çıkarlar.
SORU 21:Bir sepetteki portakallar dörder, beşer ve altışar sayıldığında her seferinde 2 portakal artıyor. Bu sepette en az kaç tane portakal vardır?
ÇÖZÜM:İlk önce 4, 5 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
Ekok(4, 5, 6) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Her seferinde 2 portakal arttığına göre sepette;
60 + 2 = 62 tane portakal vardır.
SORU 22:E.B.O.B(24,36) + E.K.O.K(12 ,24) toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM 22:
SORU 23:21, 36 ve 126 sayılarının EBOB u kaçtır?
ÇÖZÜM 23:
SORU 24:Bir okulda belli aralıklarla çalan iki zilden birincisi 30 dakikada, ikincisi ise 40 dakika aralıklarla çalmaktadır. Buna göre,iki zil birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalarlar?
ÇÖZÜM 24:Olay aynı anda gerçekleşeceğinden bir EKOK sorusudur.
EKOK (30, 40) =120 dakika sonra birlikte çalar.
SORU 25:Bir torbadaki boncuklar sekizer sekizer sayıldığında 5 tane, 12'şerli 12'şerli sayıldığnda 9 tane ve 15'erli 15'erli sayıldığnda 12 tane boncuk arrtıyor. buna göre, bu torbada en az kaç tane boncuk vardır?
ÇÖZÜM 15:OKEK (8, 12, 15) = 120
8 ER - 3 = 5 KALIYOR
12 ŞER - 3 = 15 KALIYOR
15 ER - 3 = 12 KALIYOR Demekki 3 eksiği olmalı.
120 - 3 = 117 olur.
27 Yanıt
20142 Gösterim